MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Unicode version

Theorem pjfo 16943
Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
pjf.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjfo  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V -onto-> T
)

Proof of Theorem pjfo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
2 pjf.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
31, 2pjf2 16942 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V --> T )
4 frn 5598 . . . 4  |-  ( ( K `  T ) : V --> T  ->  ran  ( K `  T
)  C_  T )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  ran  ( K `  T
)  C_  T )
6 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ocv `  W )  =  ( ocv `  W )
7 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( proj
1 `  W )  =  ( proj 1 `  W )
86, 7, 1pjval 16938 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T ( proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) )
98ad2antlr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  ( K `  T )  =  ( T (
proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W
) `  T )
) )
109fveq1d 5731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  (
( K `  T
) `  x )  =  ( ( T ( proj 1 `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) ) `
 x ) )
11 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
12 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( LSSum `  W )  =  (
LSSum `  W )
13 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
14 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
15 phllmod 16862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
1615adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  LMod )
17 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
1817lsssssubg 16035 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W ) )
1916, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( LSubSp `  W )  C_  (SubGrp `  W )
)
202, 17, 6, 12, 1pjdm2 16939 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  PreHil  ->  ( T  e. 
dom  K  <->  ( T  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( T ( LSSum `  W ) ( ( ocv `  W ) `
 T ) )  =  V ) ) )
2120simprbda 608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  ( LSubSp `  W ) )
2219, 21sseldd 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  e.  (SubGrp `  W
) )
232, 17lssss 16014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  T  C_  V
)
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  V )
252, 6, 17ocvlss 16900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  C_  V )  ->  (
( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
2624, 25syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  ( LSubSp `  W )
)
2719, 26sseldd 3350 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( ( ocv `  W
) `  T )  e.  (SubGrp `  W )
)
286, 17, 13ocvin 16902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( T  i^i  ( ( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
2921, 28syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( T  i^i  (
( ocv `  W
) `  T )
)  =  { ( 0g `  W ) } )
30 lmodabl 15992 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
3116, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  W  e.  Abel )
3214, 31, 22, 27ablcntzd 15473 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  ( (Cntz `  W ) `  (
( ocv `  W
) `  T )
) )
3311, 12, 13, 14, 22, 27, 29, 32, 7pj1lid 15334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  (
( T ( proj
1 `  W )
( ( ocv `  W
) `  T )
) `  x )  =  x )
3410, 33eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  (
( K `  T
) `  x )  =  x )
35 ffn 5592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K `  T ) : V --> T  -> 
( K `  T
)  Fn  V )
363, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
)  Fn  V )
3736adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  ( K `  T )  Fn  V )
3824sselda 3349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  V )
39 fnfvelrn 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K `  T
)  Fn  V  /\  x  e.  V )  ->  ( ( K `  T ) `  x
)  e.  ran  ( K `  T )
)
4037, 38, 39syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  (
( K `  T
) `  x )  e.  ran  ( K `  T ) )
4134, 40eqeltrrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K
)  /\  x  e.  T )  ->  x  e.  ran  ( K `  T ) )
4241ex 425 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( x  e.  T  ->  x  e.  ran  ( K `  T )
) )
4342ssrdv 3355 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  T  C_  ran  ( K `
 T ) )
445, 43eqssd 3366 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  ->  ran  ( K `  T
)  =  T )
45 dffo2 5658 . 2  |-  ( ( K `  T ) : V -onto-> T  <->  ( ( K `  T ) : V --> T  /\  ran  ( K `  T )  =  T ) )
463, 44, 45sylanbrc 647 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  T  e.  dom  K )  -> 
( K `  T
) : V -onto-> T
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    i^i cin 3320    C_ wss 3321   {csn 3815   dom cdm 4879   ran crn 4880    Fn wfn 5450   -->wf 5451   -onto->wfo 5453   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   0gc0g 13724  SubGrpcsubg 14939  Cntzccntz 15115   LSSumclsm 15269   proj
1cpj1 15270   Abelcabel 15414   LModclmod 15951   LSubSpclss 16009   PreHilcphl 16856   ocvcocv 16888   projcpj 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-lsm 15271  df-pj1 15272  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lmhm 16099  df-lvec 16176  df-sra 16245  df-rgmod 16246  df-phl 16858  df-ocv 16891  df-pj 16931
  Copyright terms: Public domain W3C validator