HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhcli Unicode version

Theorem pjhcli 22310
Description: Closure of a projection in Hilbert space. (Contributed by NM, 7-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjcl.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjhcli  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  A )  e.  ~H )

Proof of Theorem pjhcli
StepHypRef Expression
1 pjcl.1 . 2  |-  H  e. 
CH
2 pjhcl 22293 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  A
)  e.  ~H )
31, 2mpan 651 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  A )  e.  ~H )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1715   ` cfv 5358   ~Hchil 21812   CHcch 21822   proj  hcpjh 21830
This theorem is referenced by:  pjhclii  22314  pjige0i  22582  mayete3i  22620  mayete3iOLD  22621  ho0val  22643  pjnmopi  23041  pjcocli  23052  pjadjcoi  23054  pjss2coi  23057  pjnormssi  23061  pjorthcoi  23062  pjssposi  23065  pjadj2coi  23097  pj2cocli  23098  pjs14i  23103  strlem5  23148  jplem1  23161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cc 8208  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964  ax-hilex 21892  ax-hfvadd 21893  ax-hvcom 21894  ax-hvass 21895  ax-hv0cl 21896  ax-hvaddid 21897  ax-hfvmul 21898  ax-hvmulid 21899  ax-hvmulass 21900  ax-hvdistr1 21901  ax-hvdistr2 21902  ax-hvmul0 21903  ax-hfi 21971  ax-his1 21974  ax-his2 21975  ax-his3 21976  ax-his4 21977  ax-hcompl 22094
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-rest 13537  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lm 17176  df-haus 17260  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-cfil 18896  df-cau 18897  df-cmet 18898  df-grpo 21169  df-gid 21170  df-ginv 21171  df-gdiv 21172  df-ablo 21260  df-subgo 21280  df-vc 21415  df-nv 21461  df-va 21464  df-ba 21465  df-sm 21466  df-0v 21467  df-vs 21468  df-nmcv 21469  df-ims 21470  df-ssp 21611  df-ph 21704  df-cbn 21755  df-hnorm 21861  df-hba 21862  df-hvsub 21864  df-hlim 21865  df-hcau 21866  df-sh 22099  df-ch 22114  df-oc 22144  df-ch0 22145  df-shs 22200  df-pjh 22287
  Copyright terms: Public domain W3C validator