HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhclii Unicode version

Theorem pjhclii 22056
Description: Closure of a projection in Hilbert space. (Contributed by NM, 30-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjcli.1  |-  H  e. 
CH
pjcli.2  |-  A  e. 
~H
Assertion
Ref Expression
pjhclii  |-  ( (
proj  h `  H ) `
 A )  e. 
~H

Proof of Theorem pjhclii
StepHypRef Expression
1 pjcli.2 . 2  |-  A  e. 
~H
2 pjcli.1 . . 3  |-  H  e. 
CH
32pjhcli 22052 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  A )  e.  ~H )
41, 3ax-mp 8 1  |-  ( (
proj  h `  H ) `
 A )  e. 
~H
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1701   ` cfv 5292   ~Hchil 21554   CHcch 21564   proj  hcpjh 21572
This theorem is referenced by:  pjoc1i  22065  pjchi  22066  spansnpji  22212  spanunsni  22213  spansnji  22280  pjidmi  22307  pjadjii  22308  pjaddii  22309  pjinormii  22310  pjmulii  22311  pjsubii  22312  pjsslem  22313  pjss2i  22314  pjssmii  22315  pjssge0ii  22316  pjdifnormii  22317  pjcji  22318  pjopythi  22353  pjnormi  22355  pjneli  22357
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cc 8106  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862  ax-hilex 21634  ax-hfvadd 21635  ax-hvcom 21636  ax-hvass 21637  ax-hv0cl 21638  ax-hvaddid 21639  ax-hfvmul 21640  ax-hvmulid 21641  ax-hvmulass 21642  ax-hvdistr1 21643  ax-hvdistr2 21644  ax-hvmul0 21645  ax-hfi 21713  ax-his1 21716  ax-his2 21717  ax-his3 21718  ax-his4 21719  ax-hcompl 21836
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-rest 13376  df-topgen 13393  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lm 17015  df-haus 17099  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-cfil 18734  df-cau 18735  df-cmet 18736  df-grpo 20911  df-gid 20912  df-ginv 20913  df-gdiv 20914  df-ablo 21002  df-subgo 21022  df-vc 21157  df-nv 21203  df-va 21206  df-ba 21207  df-sm 21208  df-0v 21209  df-vs 21210  df-nmcv 21211  df-ims 21212  df-ssp 21353  df-ph 21446  df-cbn 21497  df-hnorm 21603  df-hba 21604  df-hvsub 21606  df-hlim 21607  df-hcau 21608  df-sh 21841  df-ch 21856  df-oc 21886  df-ch0 21887  df-shs 21942  df-pjh 22029
  Copyright terms: Public domain W3C validator