HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhtheu Unicode version

Theorem pjhtheu 22746
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector  A can be decomposed uniquely into a member  x of a closed subspace  H and a member  y of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 22768 for the uniqueness of  y. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhtheu  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, H, y

Proof of Theorem pjhtheu
StepHypRef Expression
1 pjhth 22745 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  =  ~H )
21eleq2d 2456 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  A  e.  ~H ) )
3 chsh 22577 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
4 shocsh 22636 . . . . . 6  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
6 shsel 22666 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
73, 5, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
82, 7bitr3d 247 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ~H  <->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
98biimpa 471 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
10 ocin 22648 . . . . 5  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
12 pjhthmo 22654 . . . 4  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )  ->  E* x
( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) )
133, 5, 11, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( H  e.  CH  ->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
1413adantr 452 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) )
15 reu5 2866 . . 3  |-  ( E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x  e.  H E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y ) ) )
16 df-rmo 2659 . . . 4  |-  ( E* x  e.  H E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) )
1716anbi2i 676 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x  e.  H E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) )  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  /\  E* x
( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) ) ) )
1815, 17bitri 241 . 2  |-  ( E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
)  <->  ( E. x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( x  +h  y )  /\  E* x ( x  e.  H  /\  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y
) ) ) )
199, 14, 18sylanbrc 646 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  E! x  e.  H  E. y  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( x  +h  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E*wmo 2241   E.wrex 2652   E!wreu 2653   E*wrmo 2654    i^i cin 3264   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   ~Hchil 22272    +h cva 22273   SHcsh 22281   CHcch 22282   _|_cort 22283    +H cph 22284   0Hc0h 22288
This theorem is referenced by:  pjhtheu2  22768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cc 8250  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005  ax-hilex 22352  ax-hfvadd 22353  ax-hvcom 22354  ax-hvass 22355  ax-hv0cl 22356  ax-hvaddid 22357  ax-hfvmul 22358  ax-hvmulid 22359  ax-hvmulass 22360  ax-hvdistr1 22361  ax-hvdistr2 22362  ax-hvmul0 22363  ax-hfi 22431  ax-his1 22434  ax-his2 22435  ax-his3 22436  ax-his4 22437  ax-hcompl 22554
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-rest 13579  df-topgen 13596  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lm 17217  df-haus 17303  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-cfil 19081  df-cau 19082  df-cmet 19083  df-grpo 21629  df-gid 21630  df-ginv 21631  df-gdiv 21632  df-ablo 21720  df-subgo 21740  df-vc 21875  df-nv 21921  df-va 21924  df-ba 21925  df-sm 21926  df-0v 21927  df-vs 21928  df-nmcv 21929  df-ims 21930  df-ssp 22071  df-ph 22164  df-cbn 22215  df-hnorm 22321  df-hba 22322  df-hvsub 22324  df-hlim 22325  df-hcau 22326  df-sh 22559  df-ch 22574  df-oc 22604  df-ch0 22605  df-shs 22660
  Copyright terms: Public domain W3C validator