Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhthmo Structured version   Unicode version

Theorem pjhthmo 22796
 Description: Projection Theorem, uniqueness part. Any two disjoint subspaces yield a unique decomposition of vectors into each subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhthmo
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem pjhthmo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 an4 798 . . . 4
2 reeanv 2867 . . . . . 6
3 simpll1 996 . . . . . . . . . 10
4 simpll2 997 . . . . . . . . . 10
5 simpll3 998 . . . . . . . . . 10
6 simplrl 737 . . . . . . . . . 10
7 simprll 739 . . . . . . . . . 10
8 simplrr 738 . . . . . . . . . 10
9 simprlr 740 . . . . . . . . . 10
10 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11
11 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11
1210, 11eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10
133, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12shuni 22794 . . . . . . . . 9
1413simpld 446 . . . . . . . 8
1514exp32 589 . . . . . . 7
1615rexlimdvv 2828 . . . . . 6
172, 16syl5bir 210 . . . . 5
1817expimpd 587 . . . 4
191, 18syl5bir 210 . . 3
2019alrimivv 1642 . 2
21 eleq1 2495 . . . 4
22 oveq1 6080 . . . . . . 7
2322eqeq2d 2446 . . . . . 6
2423rexbidv 2718 . . . . 5
25 oveq2 6081 . . . . . . 7
2625eqeq2d 2446 . . . . . 6
2726cbvrexv 2925 . . . . 5
2824, 27syl6bb 253 . . . 4
2921, 28anbi12d 692 . . 3
3029mo4 2313 . 2
3120, 30sylibr 204 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wmo 2281  wrex 2698   cin 3311  (class class class)co 6073   cva 22415  csh 22423  c0h 22430 This theorem is referenced by:  pjhtheu  22888  pjpreeq  22892 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-hvsub 22466  df-sh 22701  df-ch0 22747
 Copyright terms: Public domain W3C validator