HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjnmopi Unicode version

Theorem pjnmopi 22728
Description: The operator norm of a projector on a nonzero closed subspace is one. Part of Theorem 26.1 of [Halmos] p. 43. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
pjhmop.1  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjnmopi  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )

Proof of Theorem pjnmopi
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjhmop.1 . . . 4  |-  H  e. 
CH
21pjfi 22283 . . 3  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
3 nmopval 22436 . . 3  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  (
normop `  ( proj  h `  H ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )
5 vex 2791 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
6 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
76anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
87rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
95, 8elab 2914 . . . . 5  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
10 pjnorm 22303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  ( normh `  y
) )
111, 10mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
( normh `  y )
)
121pjhcli 21997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H )
13 normcl 21704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( proj  h `  H
) `  y )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  e.  RR )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  e.  RR )
15 normcl 21704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
16 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
17 letr 8914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1816, 17mp3an3 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
1914, 15, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  ( normh `  y )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 ) )
2011, 19mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  <_  1  ->  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <_  1
) )
2120imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  <_ 
1 )
22 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  ->  ( z  <_  1  <->  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
)  <_  1 ) )
2322biimparc 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2421, 23sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  /\  z  =  ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  y )
) )  ->  z  <_  1 )
2524expl 601 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  -> 
z  <_  1 ) )
2625rexlimiv 2661 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) )  ->  z  <_  1 )
279, 26sylbi 187 . . . 4  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  ->  z  <_  1
)
2827rgen 2608 . . 3  |-  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  <_ 
1
291cheli 21812 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  y  e.  ~H )
3029adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
y  e.  ~H )
3129, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
32 eqle 8923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normh `  y )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  =  1 )  ->  ( normh `  y )  <_  1
)
3331, 32sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  <_  1 )
34 pjid 22274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H  e.  CH  /\  y  e.  H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  y
)  =  y )
351, 34mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  H  ->  (
( proj  h `  H
) `  y )  =  y )
3635fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  H  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) )  =  ( normh `  y )
)
3736adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) )  =  ( normh `  y
) )
38 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( normh `  y )  =  1 )
3937, 38eqtr2d 2316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )
4030, 33, 39jca32 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  H  /\  ( normh `  y )  =  1 )  -> 
( y  e.  ~H  /\  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) ) )
4140reximi2 2649 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  H  (
normh `  y )  =  1  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) )
421chne0i 22032 . . . . . . . 8  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  y  =/=  0h )
431chshii 21807 . . . . . . . . 9  |-  H  e.  SH
4443norm1exi 21829 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  H  y  =/=  0h  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
4542, 44bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( H  =/=  0H  <->  E. y  e.  H  ( normh `  y )  =  1 )
46 1ex 8833 . . . . . . . 8  |-  1  e.  _V
47 eqeq1 2289 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  (
x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) )  <->  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) )
4847anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) ) )
4948rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) ) )
5046, 49elab 2914 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  1  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) )
5141, 45, 503imtr4i 257 . . . . . 6  |-  ( H  =/=  0H  ->  1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } )
52 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1  ->  (
z  <  w  <->  z  <  1 ) )
5352rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) }  /\  z  <  1
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w )
5451, 53sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( H  =/=  0H  /\  z  <  1 )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w )
5554ex 423 . . . 4  |-  ( H  =/=  0H  ->  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
5655ralrimivw 2627 . . 3  |-  ( H  =/=  0H  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } z  < 
w ) )
57 nmopsetretHIL 22444 . . . . . 6  |-  ( (
proj  h `  H ) : ~H --> ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) }  C_  RR )
582, 57ax-mp 8 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR
59 ressxr 8876 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
6058, 59sstri 3188 . . . 4  |-  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*
61 rexr 8877 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR  ->  1  e.  RR* )
6216, 61ax-mp 8 . . . 4  |-  1  e.  RR*
63 supxr2 10632 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } 
C_  RR*  /\  1  e. 
RR* )  /\  ( A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  (
z  <  1  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6460, 62, 63mpanl12 663 . . 3  |-  ( ( A. z  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <_  1  /\  A. z  e.  RR  ( z  <  1  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  y ) ) ) } z  <  w
) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
6528, 56, 64sylancr 644 . 2  |-  ( H  =/=  0H  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 y ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  =  1 )
664, 65syl5eq 2327 1  |-  ( H  =/=  0H  ->  ( normop `  ( proj  h `  H
) )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255   supcsup 7193   RRcr 8736   1c1 8738   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   ~Hchil 21499   normhcno 21503   0hc0v 21504   CHcch 21509   0Hc0h 21515   proj 
hcpjh 21517   normopcnop 21525
This theorem is referenced by:  pjbdlni  22729
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-pjh 21974  df-nmop 22419
  Copyright terms: Public domain W3C validator