HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjopyth Unicode version

Theorem pjopyth 23183
Description: Pythagorean theorem for projections on orthogonal subspaces. (Contributed by NM, 2-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjopyth  |-  ( ( H  e.  CH  /\  G  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( H  C_  ( _|_ `  G
)  ->  ( ( normh `  ( ( (
proj  h `  H ) `
 A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ^ 2 ) ) ) )

Proof of Theorem pjopyth
StepHypRef Expression
1 sseq1 3337 . . 3  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  ( H  C_  ( _|_ `  G
)  <->  if ( H  e. 
CH ,  H ,  ~H )  C_  ( _|_ `  G ) ) )
2 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  ( proj  h `  H )  =  ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) )
32fveq1d 5697 . . . . . . 7  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  (
( proj  h `  H
) `  A )  =  ( ( proj 
h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H ) ) `  A ) )
43oveq1d 6063 . . . . . 6  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  (
( ( proj  h `  H ) `  A
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 A ) )  =  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) )
54fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  ( normh `  ( ( (
proj  h `  H ) `
 A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) )  =  ( normh `  ( (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) )
65oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  (
( normh `  ( (
( proj  h `  H
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) ^
2 )  =  ( ( normh `  ( (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) ^
2 ) )
73fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  A ) )  =  ( normh `  ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) )
87oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  H ) `
 A ) ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 ) )
98oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( normh `  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ^ 2 ) ) )
106, 9eqeq12d 2426 . . 3  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  (
( ( normh `  (
( ( proj  h `  H ) `  A
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 A ) ) ^ 2 ) )  <-> 
( ( normh `  (
( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ^ 2 ) ) ) )
111, 10imbi12d 312 . 2  |-  ( H  =  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  ->  (
( H  C_  ( _|_ `  G )  -> 
( ( normh `  (
( ( proj  h `  H ) `  A
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj 
h `  H ) `  A ) ) ^
2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 A ) ) ^ 2 ) ) )  <->  ( if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  C_  ( _|_ `  G
)  ->  ( ( normh `  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ^ 2 ) ) ) ) )
12 fveq2 5695 . . . 4  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  ( _|_ `  G )  =  ( _|_ `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) )
1312sseq2d 3344 . . 3  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  ( if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  C_  ( _|_ `  G
)  <->  if ( H  e. 
CH ,  H ,  ~H )  C_  ( _|_ `  if ( G  e. 
CH ,  G ,  ~H ) ) ) )
14 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  ( proj  h `  G )  =  ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) )
1514fveq1d 5697 . . . . . . 7  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  (
( proj  h `  G
) `  A )  =  ( ( proj 
h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H ) ) `  A ) )
1615oveq2d 6064 . . . . . 6  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  (
( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) )  =  ( ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) )
1716fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  ( normh `  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) )  =  ( normh `  ( (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ) )
1817oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  (
( normh `  ( (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) ^
2 )  =  ( ( normh `  ( (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ) ^ 2 ) )
1915fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  G ) `  A ) )  =  ( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) )
2019oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  G ) `
 A ) ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  (
( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 ) )
2120oveq2d 6064 . . . 4  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( normh `  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 ) ) )
2218, 21eqeq12d 2426 . . 3  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  (
( ( normh `  (
( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ^ 2 ) )  <->  ( ( normh `  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 ) ) ) )
2313, 22imbi12d 312 . 2  |-  ( G  =  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  ->  (
( if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  C_  ( _|_ `  G )  -> 
( ( normh `  (
( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ^ 2 ) ) )  <->  ( if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  C_  ( _|_ `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
)  ->  ( ( normh `  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 ) ) ) ) )
24 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  =  ( ( proj 
h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H ) ) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
25 fveq2 5695 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )  =  ( ( proj 
h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H ) ) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) )
2624, 25oveq12d 6066 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
)  =  ( ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) )
2726fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( normh `  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) )  =  (
normh `  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) ) )
2827oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( normh `  ( (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( (
normh `  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) ) ^ 2 ) )
2924fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H ) ) `  A ) )  =  ( normh `  ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) )
3029oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) ^ 2 ) )
3125fveq2d 5699 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  ( normh `  ( ( proj 
h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H ) ) `  A ) )  =  ( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) )
3231oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) ^ 2 ) )
3330, 32oveq12d 6066 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( normh `  (
( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( normh `  (
( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) ^ 2 ) ) )
3428, 33eqeq12d 2426 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( ( normh `  (
( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 ) )  <->  ( ( normh `  ( ( ( proj 
h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H ) ) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
)  +h  ( (
proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj 
h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H ) ) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( proj 
h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H ) ) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ^ 2 ) ) ) )
3534imbi2d 308 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  ->  (
( if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  C_  ( _|_ `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H ) )  -> 
( ( normh `  (
( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  A )
) ^ 2 ) ) )  <->  ( if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  C_  ( _|_ `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
)  ->  ( ( normh `  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj 
h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H ) ) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( proj 
h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H ) ) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ^ 2 ) ) ) ) )
36 helch 22707 . . . 4  |-  ~H  e.  CH
3736elimel 3759 . . 3  |-  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  e.  CH
3836elimel 3759 . . 3  |-  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )  e.  CH
39 ax-hv0cl 22467 . . . 4  |-  0h  e.  ~H
4039elimel 3759 . . 3  |-  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )  e.  ~H
4137, 38, 40pjopythi 23182 . 2  |-  ( if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )  C_  ( _|_ `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
)  ->  ( ( normh `  ( ( (
proj  h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) )  +h  ( ( proj  h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H )
) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( (
normh `  ( ( proj 
h `  if ( H  e.  CH ,  H ,  ~H ) ) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ^ 2 )  +  ( (
normh `  ( ( proj 
h `  if ( G  e.  CH ,  G ,  ~H ) ) `  if ( A  e.  ~H ,  A ,  0h )
) ) ^ 2 ) ) )
4211, 23, 35, 41dedth3h 3750 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  G  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( H  C_  ( _|_ `  G
)  ->  ( ( normh `  ( ( (
proj  h `  H ) `
 A )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( normh `  (
( proj  h `  H
) `  A )
) ^ 2 )  +  ( ( normh `  ( ( proj  h `  G ) `  A
) ) ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3288   ifcif 3707   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    + caddc 8957   2c2 10013   ^cexp 11345   ~Hchil 22383    +h cva 22384   normhcno 22387   0hc0v 22388   CHcch 22393   _|_cort 22394   proj 
hcpjh 22401
This theorem is referenced by:  strlem3a  23716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cc 8279  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034  ax-hilex 22463  ax-hfvadd 22464  ax-hvcom 22465  ax-hvass 22466  ax-hv0cl 22467  ax-hvaddid 22468  ax-hfvmul 22469  ax-hvmulid 22470  ax-hvmulass 22471  ax-hvdistr1 22472  ax-hvdistr2 22473  ax-hvmul0 22474  ax-hfi 22542  ax-his1 22545  ax-his2 22546  ax-his3 22547  ax-his4 22548  ax-hcompl 22665
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-lm 17255  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cfil 19169  df-cau 19170  df-cmet 19171  df-grpo 21740  df-gid 21741  df-ginv 21742  df-gdiv 21743  df-ablo 21831  df-subgo 21851  df-vc 21986  df-nv 22032  df-va 22035  df-ba 22036  df-sm 22037  df-0v 22038  df-vs 22039  df-nmcv 22040  df-ims 22041  df-dip 22158  df-ssp 22182  df-ph 22275  df-cbn 22326  df-hnorm 22432  df-hba 22433  df-hvsub 22435  df-hlim 22436  df-hcau 22437  df-sh 22670  df-ch 22685  df-oc 22715  df-ch0 22716  df-shs 22771  df-pjh 22858
  Copyright terms: Public domain W3C validator