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Theorem pjpreeq 22905
Description: Equality with a projection. This version of pjeq 22906 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 22900. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjpreeq  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, A    x, B

Proof of Theorem pjpreeq
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 22732 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
2 shocsh 22791 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
4 shsel 22821 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
51, 3, 4syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
65biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
7 ocin 22803 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
81, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
9 pjhthmo 22809 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )  ->  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) )
101, 3, 8, 9syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
1110adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
12 reu5 2923 . . . . . . 7  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
13 df-rmo 2715 . . . . . . . 8  |-  ( E* y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) )
1413anbi2i 677 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  /\  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) ) )
1512, 14bitri 242 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) ) )
166, 11, 15sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
17 riotacl 6567 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  ->  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
19 eleq1 2498 . . . 4  |-  ( (
iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  ( ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  e.  H  <->  B  e.  H ) )
2018, 19syl5ibcom 213 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  B  e.  H )
)
2120pm4.71rd 618 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  =  B ) ) )
22 shsss 22820 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( H  +H  ( _|_ `  H ) ) 
C_  ~H )
231, 3, 22syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  C_  ~H )
2423sselda 3350 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  A  e.  ~H )
25 pjhval 22904 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2624, 25syldan 458 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( proj  h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2726eqeq1d 2446 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
28 id 21 . . . 4  |-  ( B  e.  H  ->  B  e.  H )
29 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
y  +h  x )  =  ( B  +h  x ) )
3029eqeq2d 2449 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  =  ( y  +h  x )  <->  A  =  ( B  +h  x
) ) )
3130rexbidv 2728 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  <->  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) ) )
3231riota2 6575 . . . 4  |-  ( ( B  e.  H  /\  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  -> 
( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3328, 16, 32syl2anr 466 . . 3  |-  ( ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  /\  B  e.  H )  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3433pm5.32da 624 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) )  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) ) )
3521, 27, 343bitr4d 278 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E*wmo 2284   E.wrex 2708   E!wreu 2709   E*wrmo 2710    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   iota_crio 6545   ~Hchil 22427    +h cva 22428   SHcsh 22436   CHcch 22437   _|_cort 22438    +H cph 22439   0Hc0h 22443   proj  hcpjh 22445
This theorem is referenced by:  pjeq  22906  pjpjpre  22926  chscllem1  23144  chscllem2  23145  chscllem3  23146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvmulass 22515  ax-hvdistr1 22516  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his2 22590  ax-his3 22591  ax-his4 22592
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-grpo 21784  df-ablo 21875  df-hvsub 22479  df-sh 22714  df-ch 22729  df-oc 22759  df-ch0 22760  df-shs 22815  df-pjh 22902
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