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Theorem pjpreeq 22749
Description: Equality with a projection. This version of pjeq 22750 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 22744. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjpreeq  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, A    x, B

Proof of Theorem pjpreeq
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 22576 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
2 shocsh 22635 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
4 shsel 22665 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
51, 3, 4syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
65biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
7 ocin 22647 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
81, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
9 pjhthmo 22653 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )  ->  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) )
101, 3, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
12 reu5 2865 . . . . . . 7  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
13 df-rmo 2658 . . . . . . . 8  |-  ( E* y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) )
1413anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  /\  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) ) )
1512, 14bitri 241 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) ) )
166, 11, 15sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
17 riotacl 6501 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  ->  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
19 eleq1 2448 . . . 4  |-  ( (
iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  ( ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  e.  H  <->  B  e.  H ) )
2018, 19syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  B  e.  H )
)
2120pm4.71rd 617 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  =  B ) ) )
22 shsss 22664 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( H  +H  ( _|_ `  H ) ) 
C_  ~H )
231, 3, 22syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  C_  ~H )
2423sselda 3292 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  A  e.  ~H )
25 pjhval 22748 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2624, 25syldan 457 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( proj  h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2726eqeq1d 2396 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
28 id 20 . . . 4  |-  ( B  e.  H  ->  B  e.  H )
29 oveq1 6028 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
y  +h  x )  =  ( B  +h  x ) )
3029eqeq2d 2399 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  =  ( y  +h  x )  <->  A  =  ( B  +h  x
) ) )
3130rexbidv 2671 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  <->  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) ) )
3231riota2 6509 . . . 4  |-  ( ( B  e.  H  /\  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  -> 
( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3328, 16, 32syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  /\  B  e.  H )  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3433pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) )  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) ) )
3521, 27, 343bitr4d 277 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E*wmo 2240   E.wrex 2651   E!wreu 2652   E*wrmo 2653    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   iota_crio 6479   ~Hchil 22271    +h cva 22272   SHcsh 22280   CHcch 22281   _|_cort 22282    +H cph 22283   0Hc0h 22287   proj  hcpjh 22289
This theorem is referenced by:  pjeq  22750  pjpjpre  22770  chscllem1  22988  chscllem2  22989  chscllem3  22990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvmulass 22359  ax-hvdistr1 22360  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his2 22434  ax-his3 22435  ax-his4 22436
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-grpo 21628  df-ablo 21719  df-hvsub 22323  df-sh 22558  df-ch 22573  df-oc 22603  df-ch0 22604  df-shs 22659  df-pjh 22746
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