Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjpreeq Structured version   Unicode version

Theorem pjpreeq 22905
 Description: Equality with a projection. This version of pjeq 22906 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 22900. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjpreeq
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem pjpreeq
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 22732 . . . . . . . 8
2 shocsh 22791 . . . . . . . . 9
31, 2syl 16 . . . . . . . 8
4 shsel 22821 . . . . . . . 8
51, 3, 4syl2anc 644 . . . . . . 7
65biimpa 472 . . . . . 6
7 ocin 22803 . . . . . . . . 9
81, 7syl 16 . . . . . . . 8
9 pjhthmo 22809 . . . . . . . 8
101, 3, 8, 9syl3anc 1185 . . . . . . 7
1110adantr 453 . . . . . 6
12 reu5 2923 . . . . . . 7
13 df-rmo 2715 . . . . . . . 8
1413anbi2i 677 . . . . . . 7
1512, 14bitri 242 . . . . . 6
166, 11, 15sylanbrc 647 . . . . 5
17 riotacl 6567 . . . . 5
1816, 17syl 16 . . . 4
19 eleq1 2498 . . . 4
2018, 19syl5ibcom 213 . . 3
2120pm4.71rd 618 . 2
22 shsss 22820 . . . . . 6
231, 3, 22syl2anc 644 . . . . 5
2423sselda 3350 . . . 4
25 pjhval 22904 . . . 4
2624, 25syldan 458 . . 3
2726eqeq1d 2446 . 2
28 id 21 . . . 4
29 oveq1 6091 . . . . . . 7
3029eqeq2d 2449 . . . . . 6
3130rexbidv 2728 . . . . 5
3231riota2 6575 . . . 4
3328, 16, 32syl2anr 466 . . 3
3433pm5.32da 624 . 2
3521, 27, 343bitr4d 278 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wmo 2284  wrex 2708  wreu 2709  wrmo 2710   cin 3321   wss 3322  cfv 5457  (class class class)co 6084  crio 6545  chil 22427   cva 22428  csh 22436  cch 22437  cort 22438   cph 22439  c0h 22443   cpjh 22445 This theorem is referenced by:  pjeq  22906  pjpjpre  22926  chscllem1  23144  chscllem2  23145  chscllem3  23146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-hilex 22507  ax-hfvadd 22508  ax-hvcom 22509  ax-hvass 22510  ax-hv0cl 22511  ax-hvaddid 22512  ax-hfvmul 22513  ax-hvmulid 22514  ax-hvmulass 22515  ax-hvdistr1 22516  ax-hvdistr2 22517  ax-hvmul0 22518  ax-hfi 22586  ax-his2 22590  ax-his3 22591  ax-his4 22592 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-grpo 21784  df-ablo 21875  df-hvsub 22479  df-sh 22714  df-ch 22729  df-oc 22759  df-ch0 22760  df-shs 22815  df-pjh 22902
 Copyright terms: Public domain W3C validator