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Theorem pjpreeq 21993
Description: Equality with a projection. This version of pjeq 21994 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 21988. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjpreeq  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, H    x, A    x, B

Proof of Theorem pjpreeq
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 21820 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  H  e.  SH )
2 shocsh 21879 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
31, 2syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( _|_ `  H )  e.  SH )
4 shsel 21909 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H ) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
51, 3, 4syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  ( A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  <->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
65biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
7 ocin 21891 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  SH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
81, 7syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )
9 pjhthmo 21897 . . . . . . . 8  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH  /\  ( H  i^i  ( _|_ `  H
) )  =  0H )  ->  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) )
101, 3, 8, 9syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( H  e.  CH  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
1110adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
12 reu5 2766 . . . . . . 7  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
13 df-rmo 2564 . . . . . . . 8  |-  ( E* y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) )
1413anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  /\  E* y
( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) ) ) )
1512, 14bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  <->  ( E. y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x )  /\  E* y ( y  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) ) ) )
166, 11, 15sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )
17 riotacl 6335 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
)  ->  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
1816, 17syl 15 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  e.  H )
19 eleq1 2356 . . . 4  |-  ( (
iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  ( ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  e.  H  <->  B  e.  H ) )
2018, 19syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  ->  B  e.  H )
)
2120pm4.71rd 616 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x
) )  =  B ) ) )
22 shsss 21908 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  SH  /\  ( _|_ `  H )  e.  SH )  -> 
( H  +H  ( _|_ `  H ) ) 
C_  ~H )
231, 3, 22syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( H  e.  CH  ->  ( H  +H  ( _|_ `  H
) )  C_  ~H )
2423sselda 3193 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  ->  A  e.  ~H )
25 pjhval 21992 . . . 4  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2624, 25syldan 456 . . 3  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( proj  h `  H ) `  A
)  =  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) ) )
2726eqeq1d 2304 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
28 id 19 . . . 4  |-  ( B  e.  H  ->  B  e.  H )
29 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
y  +h  x )  =  ( B  +h  x ) )
3029eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  =  ( y  +h  x )  <->  A  =  ( B  +h  x
) ) )
3130rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x )  <->  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) ) )
3231riota2 6343 . . . 4  |-  ( ( B  e.  H  /\  E! y  e.  H  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  -> 
( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3328, 16, 32syl2anr 464 . . 3  |-  ( ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  /\  B  e.  H )  ->  ( E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x )  <-> 
( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) )
3433pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( B  +h  x ) )  <->  ( B  e.  H  /\  ( iota_ y  e.  H E. x  e.  ( _|_ `  H
) A  =  ( y  +h  x ) )  =  B ) ) )
3521, 27, 343bitr4d 276 1  |-  ( ( H  e.  CH  /\  A  e.  ( H  +H  ( _|_ `  H
) ) )  -> 
( ( ( proj 
h `  H ) `  A )  =  B  <-> 
( B  e.  H  /\  E. x  e.  ( _|_ `  H ) A  =  ( B  +h  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E*wmo 2157   E.wrex 2557   E!wreu 2558   E*wrmo 2559    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   ~Hchil 21515    +h cva 21516   SHcsh 21524   CHcch 21525   _|_cort 21526    +H cph 21527   0Hc0h 21531   proj  hcpjh 21533
This theorem is referenced by:  pjeq  21994  pjpjpre  22014  chscllem1  22232  chscllem2  22233  chscllem3  22234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-grpo 20874  df-ablo 20965  df-hvsub 21567  df-sh 21802  df-ch 21817  df-oc 21847  df-ch0 21848  df-shs 21903  df-pjh 21990
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