HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjscji Unicode version

Theorem pjscji 23522
Description: The projection of orthogonal subspaces is the sum of the projections. (Contributed by NM, 11-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjscji  |-  ( G 
C_  ( _|_ `  H
)  ->  ( proj  h `
 ( G  vH  H ) )  =  ( ( proj  h `  G )  +op  ( proj  h `  H ) ) )

Proof of Theorem pjscji
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.1 . . . . . 6  |-  G  e. 
CH
2 pjco.2 . . . . . 6  |-  H  e. 
CH
3 pjcjt2 23043 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  CH  /\  H  e.  CH  /\  x  e.  ~H )  ->  ( G  C_  ( _|_ `  H
)  ->  ( ( proj  h `  ( G  vH  H ) ) `
 x )  =  ( ( ( proj 
h `  G ) `  x )  +h  (
( proj  h `  H
) `  x )
) ) )
41, 2, 3mp3an12 1269 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  ( G  C_  ( _|_ `  H
)  ->  ( ( proj  h `  ( G  vH  H ) ) `
 x )  =  ( ( ( proj 
h `  G ) `  x )  +h  (
( proj  h `  H
) `  x )
) ) )
54impcom 420 . . . 4  |-  ( ( G  C_  ( _|_ `  H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( proj  h `  ( G  vH  H ) ) `
 x )  =  ( ( ( proj 
h `  G ) `  x )  +h  (
( proj  h `  H
) `  x )
) )
61pjfi 23055 . . . . . 6  |-  ( proj 
h `  G ) : ~H --> ~H
72pjfi 23055 . . . . . 6  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
8 hosval 23092 . . . . . 6  |-  ( ( ( proj  h `  G
) : ~H --> ~H  /\  ( proj  h `  H
) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  G )  +op  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  =  ( ( ( proj  h `  G
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
96, 7, 8mp3an12 1269 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  G )  +op  ( proj  h `  H ) ) `  x )  =  ( ( (
proj  h `  G ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
109adantl 453 . . . 4  |-  ( ( G  C_  ( _|_ `  H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( proj  h `  G )  +op  ( proj  h `  H ) ) `  x )  =  ( ( (
proj  h `  G ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  H ) `  x
) ) )
115, 10eqtr4d 2423 . . 3  |-  ( ( G  C_  ( _|_ `  H )  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( proj  h `  ( G  vH  H ) ) `
 x )  =  ( ( ( proj 
h `  G )  +op  ( proj  h `  H
) ) `  x
) )
1211ralrimiva 2733 . 2  |-  ( G 
C_  ( _|_ `  H
)  ->  A. x  e.  ~H  ( ( proj 
h `  ( G  vH  H ) ) `  x )  =  ( ( ( proj  h `  G )  +op  ( proj  h `  H ) ) `  x ) )
131, 2chjcli 22808 . . . 4  |-  ( G  vH  H )  e. 
CH
1413pjfi 23055 . . 3  |-  ( proj 
h `  ( G  vH  H ) ) : ~H --> ~H
156, 7hoaddcli 23120 . . 3  |-  ( (
proj  h `  G ) 
+op  ( proj  h `  H ) ) : ~H --> ~H
1614, 15hoeqi 23113 . 2  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( proj  h `  ( G  vH  H ) ) `
 x )  =  ( ( ( proj 
h `  G )  +op  ( proj  h `  H
) ) `  x
)  <->  ( proj  h `  ( G  vH  H ) )  =  ( (
proj  h `  G ) 
+op  ( proj  h `  H ) ) )
1712, 16sylib 189 1  |-  ( G 
C_  ( _|_ `  H
)  ->  ( proj  h `
 ( G  vH  H ) )  =  ( ( proj  h `  G )  +op  ( proj  h `  H ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   ~Hchil 22271    +h cva 22272   CHcch 22281   _|_cort 22282    vH chj 22285   proj  hcpjh 22289    +op chos 22290
This theorem is referenced by:  pjssumi  23523  pjclem1  23547  pjci  23552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004  ax-hilex 22351  ax-hfvadd 22352  ax-hvcom 22353  ax-hvass 22354  ax-hv0cl 22355  ax-hvaddid 22356  ax-hfvmul 22357  ax-hvmulid 22358  ax-hvmulass 22359  ax-hvdistr1 22360  ax-hvdistr2 22361  ax-hvmul0 22362  ax-hfi 22430  ax-his1 22433  ax-his2 22434  ax-his3 22435  ax-his4 22436  ax-hcompl 22553
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-lm 17216  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cfil 19080  df-cau 19081  df-cmet 19082  df-grpo 21628  df-gid 21629  df-ginv 21630  df-gdiv 21631  df-ablo 21719  df-subgo 21739  df-vc 21874  df-nv 21920  df-va 21923  df-ba 21924  df-sm 21925  df-0v 21926  df-vs 21927  df-nmcv 21928  df-ims 21929  df-dip 22046  df-ssp 22070  df-ph 22163  df-cbn 22214  df-hnorm 22320  df-hba 22321  df-hvsub 22323  df-hlim 22324  df-hcau 22325  df-sh 22558  df-ch 22573  df-oc 22603  df-ch0 22604  df-shs 22659  df-chj 22661  df-pjh 22746  df-hosum 23082
  Copyright terms: Public domain W3C validator