HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjss1coi Unicode version

Theorem pjss1coi 22743
Description: Subset relationship for projections. Theorem 4.5(i)<->(iii) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 1-Oct-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjco.1  |-  G  e. 
CH
pjco.2  |-  H  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
pjss1coi  |-  ( G 
C_  H  <->  ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  =  ( proj  h `  G
) )

Proof of Theorem pjss1coi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjco.2 . . . . . . 7  |-  H  e. 
CH
2 pjco.1 . . . . . . 7  |-  G  e. 
CH
31, 2pjcoi 22738 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) ) `  x )  =  ( ( proj 
h `  H ) `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
43adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( G  C_  H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  H )  o.  ( proj  h `  G
) ) `  x
)  =  ( (
proj  h `  H ) `
 ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
52pjcli 21996 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  G )
6 ssel2 3175 . . . . . . 7  |-  ( ( G  C_  H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  G )  ->  ( ( proj 
h `  G ) `  x )  e.  H
)
75, 6sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( G  C_  H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  H )
8 pjid 22274 . . . . . 6  |-  ( ( H  e.  CH  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  H )  ->  ( ( proj 
h `  H ) `  ( ( proj  h `  G ) `  x
) )  =  ( ( proj  h `  G
) `  x )
)
91, 7, 8sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( G  C_  H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( proj  h `  H ) `  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  =  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )
104, 9eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( G  C_  H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  H )  o.  ( proj  h `  G
) ) `  x
)  =  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )
1110ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( G 
C_  H  ->  A. x  e.  ~H  ( ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) ) `  x )  =  ( ( proj  h `  G
) `  x )
)
121pjfi 22283 . . . . 5  |-  ( proj 
h `  H ) : ~H --> ~H
132pjfi 22283 . . . . 5  |-  ( proj 
h `  G ) : ~H --> ~H
1412, 13hocofi 22346 . . . 4  |-  ( (
proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) ) : ~H --> ~H
1514, 13hoeqi 22341 . . 3  |-  ( A. x  e.  ~H  (
( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) ) `  x )  =  ( ( proj 
h `  G ) `  x )  <->  ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  =  ( proj  h `  G
) )
1611, 15sylib 188 . 2  |-  ( G 
C_  H  ->  (
( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  =  ( proj 
h `  G )
)
17 rneq 4904 . . . 4  |-  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  =  ( proj 
h `  G )  ->  ran  ( ( proj 
h `  H )  o.  ( proj  h `  G
) )  =  ran  ( proj  h `  G
) )
18 rncoss 4945 . . . . 5  |-  ran  (
( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  C_  ran  ( proj 
h `  H )
19 sseq1 3199 . . . . 5  |-  ( ran  ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  =  ran  ( proj  h `  G )  ->  ( ran  (
( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  C_  ran  ( proj 
h `  H )  <->  ran  ( proj  h `  G
)  C_  ran  ( proj 
h `  H )
) )
2018, 19mpbii 202 . . . 4  |-  ( ran  ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  =  ran  ( proj  h `  G )  ->  ran  ( proj  h `
 G )  C_  ran  ( proj  h `  H
) )
2117, 20syl 15 . . 3  |-  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  =  ( proj 
h `  G )  ->  ran  ( proj  h `  G )  C_  ran  ( proj  h `  H
) )
222pjrni 22281 . . 3  |-  ran  ( proj  h `  G )  =  G
231pjrni 22281 . . 3  |-  ran  ( proj  h `  H )  =  H
2421, 22, 233sstr3g 3218 . 2  |-  ( ( ( proj  h `  H
)  o.  ( proj 
h `  G )
)  =  ( proj 
h `  G )  ->  G  C_  H )
2516, 24impbii 180 1  |-  ( G 
C_  H  <->  ( ( proj  h `  H )  o.  ( proj  h `  G ) )  =  ( proj  h `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ran crn 4690    o. ccom 4693   ` cfv 5255   ~Hchil 21499   CHcch 21509   proj  hcpjh 21517
This theorem is referenced by:  pjss2coi  22744  pjin1i  22772  pjclem1  22775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817  ax-hilex 21579  ax-hfvadd 21580  ax-hvcom 21581  ax-hvass 21582  ax-hv0cl 21583  ax-hvaddid 21584  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulid 21586  ax-hvmulass 21587  ax-hvdistr1 21588  ax-hvdistr2 21589  ax-hvmul0 21590  ax-hfi 21658  ax-his1 21661  ax-his2 21662  ax-his3 21663  ax-his4 21664  ax-hcompl 21781
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lm 16959  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cfil 18681  df-cau 18682  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-subgo 20969  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-dip 21274  df-ssp 21298  df-ph 21391  df-cbn 21442  df-hnorm 21548  df-hba 21549  df-hvsub 21551  df-hlim 21552  df-hcau 21553  df-sh 21786  df-ch 21801  df-oc 21831  df-ch0 21832  df-shs 21887  df-pjh 21974
  Copyright terms: Public domain W3C validator