Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjth Unicode version

Theorem pjth 19279
 Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector can be decomposed uniquely into a member of a closed subspace and a member of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjth.v
pjth.s
pjth.o
pjth.j
pjth.l
Assertion
Ref Expression
pjth

Proof of Theorem pjth
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hlphl 19258 . . . . . 6
213ad2ant1 978 . . . . 5
3 phllmod 16802 . . . . 5
42, 3syl 16 . . . 4
5 simp2 958 . . . 4
6 pjth.v . . . . . . 7
7 pjth.l . . . . . . 7
86, 7lssss 15954 . . . . . 6
983ad2ant2 979 . . . . 5
10 pjth.o . . . . . 6
116, 10, 7ocvlss 16840 . . . . 5
122, 9, 11syl2anc 643 . . . 4
13 pjth.s . . . . 5
147, 13lsmcl 16096 . . . 4
154, 5, 12, 14syl3anc 1184 . . 3
166, 7lssss 15954 . . 3
1715, 16syl 16 . 2
18 eqid 2401 . . . . 5
19 eqid 2401 . . . . 5
20 eqid 2401 . . . . 5
21 eqid 2401 . . . . 5
22 simpl1 960 . . . . 5
23 simpl2 961 . . . . 5
24 simpr 448 . . . . 5
25 pjth.j . . . . 5
26 simpl3 962 . . . . 5
276, 18, 19, 20, 21, 7, 22, 23, 24, 25, 13, 10, 26pjthlem2 19278 . . . 4
2827ex 424 . . 3
2928ssrdv 3311 . 2
3017, 29eqssd 3322 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wss 3277  cfv 5408  (class class class)co 6034  cbs 13410   cplusg 13470  cip 13475  ctopn 13590  csg 14629  clsm 15209  clmod 15891  clss 15949  cphl 16796  cocv 16828  ccld 17021  cnm 18563  chl 19226 This theorem is referenced by:  pjth2  19280 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2382  ax-rep 4275  ax-sep 4285  ax-nul 4293  ax-pow 4332  ax-pr 4358  ax-un 4655  ax-inf2 7543  ax-cnex 8993  ax-resscn 8994  ax-1cn 8995  ax-icn 8996  ax-addcl 8997  ax-addrcl 8998  ax-mulcl 8999  ax-mulrcl 9000  ax-mulcom 9001  ax-addass 9002  ax-mulass 9003  ax-distr 9004  ax-i2m1 9005  ax-1ne0 9006  ax-1rid 9007  ax-rnegex 9008  ax-rrecex 9009  ax-cnre 9010  ax-pre-lttri 9011  ax-pre-lttrn 9012  ax-pre-ltadd 9013  ax-pre-mulgt0 9014  ax-pre-sup 9015  ax-addf 9016  ax-mulf 9017 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2526  df-ne 2566  df-nel 2567  df-ral 2668  df-rex 2669  df-reu 2670  df-rmo 2671  df-rab 2672  df-v 2915  df-sbc 3119  df-csb 3209  df-dif 3280  df-un 3282  df-in 3284  df-ss 3291  df-pss 3293  df-nul 3586  df-if 3697  df-pw 3758  df-sn 3777  df-pr 3778  df-tp 3779  df-op 3780  df-uni 3972  df-int 4007  df-iun 4051  df-iin 4052  df-br 4168  df-opab 4222  df-mpt 4223  df-tr 4258  df-eprel 4449  df-id 4453  df-po 4458  df-so 4459  df-fr 4496  df-se 4497  df-we 4498  df-ord 4539  df-on 4540  df-lim 4541  df-suc 4542  df-om 4800  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5372  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-ov 6037  df-oprab 6038  df-mpt2 6039  df-of 6258  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-tpos 6429  df-riota 6499  df-recs 6583  df-rdg 6618  df-1o 6674  df-2o 6675  df-oadd 6678  df-er 6855  df-map 6970  df-ixp 7014  df-en 7060  df-dom 7061  df-sdom 7062  df-fin 7063  df-fi 7365  df-sup 7395  df-oi 7426  df-card 7773  df-cda 7995  df-pnf 9069  df-mnf 9070  df-xr 9071  df-ltxr 9072  df-le 9073  df-sub 9239  df-neg 9240  df-div 9624  df-nn 9947  df-2 10004  df-3 10005  df-4 10006  df-5 10007  df-6 10008  df-7 10009  df-8 10010  df-9 10011  df-10 10012  df-n0 10168  df-z 10229  df-dec 10329  df-uz 10435  df-q 10521  df-rp 10559  df-xneg 10656  df-xadd 10657  df-xmul 10658  df-ioo 10866  df-ico 10868  df-icc 10869  df-fz 10990  df-fzo 11080  df-seq 11265  df-exp 11324  df-hash 11560  df-cj 11845  df-re 11846  df-im 11847  df-sqr 11981  df-abs 11982  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13415  df-sets 13416  df-ress 13417  df-plusg 13483  df-mulr 13484  df-starv 13485  df-sca 13486  df-vsca 13487  df-tset 13489  df-ple 13490  df-ds 13492  df-unif 13493  df-hom 13494  df-cco 13495  df-rest 13591  df-topn 13592  df-topgen 13608  df-pt 13609  df-prds 13612  df-xrs 13667  df-0g 13668  df-gsum 13669  df-qtop 13674  df-imas 13675  df-xps 13677  df-mre 13752  df-mrc 13753  df-acs 13755  df-mnd 14631  df-mhm 14679  df-submnd 14680  df-grp 14753  df-minusg 14754  df-sbg 14755  df-mulg 14756  df-subg 14882  df-ghm 14945  df-cntz 15057  df-lsm 15211  df-cmn 15355  df-abl 15356  df-mgp 15590  df-rng 15604  df-cring 15605  df-ur 15606  df-oppr 15669  df-dvdsr 15687  df-unit 15688  df-invr 15718  df-dvr 15729  df-rnghom 15760  df-drng 15778  df-subrg 15807  df-staf 15874  df-srng 15875  df-lmod 15893  df-lss 15950  df-lmhm 16039  df-lvec 16116  df-sra 16185  df-rgmod 16186  df-psmet 16635  df-xmet 16636  df-met 16637  df-bl 16638  df-mopn 16639  df-fbas 16640  df-fg 16641  df-cnfld 16645  df-phl 16798  df-ocv 16831  df-top 16904  df-bases 16906  df-topon 16907  df-topsp 16908  df-cld 17024  df-ntr 17025  df-cls 17026  df-nei 17103  df-cn 17231  df-cnp 17232  df-haus 17319  df-cmp 17390  df-tx 17533  df-hmeo 17726  df-fil 17817  df-flim 17910  df-fcls 17912  df-xms 18289  df-ms 18290  df-tms 18291  df-nm 18569  df-ngp 18570  df-nlm 18573  df-cncf 18847  df-clm 19027  df-cph 19070  df-cfil 19147  df-cmet 19149  df-cms 19227  df-bn 19228  df-hl 19229
 Copyright terms: Public domain W3C validator