Theorem pjtheu 9150

Description: Uniqueness of x for the projection theorem. See pjtheu2 9165 for the uniqueness of y.

Hypothesis

Ref	Expression
pjtheu.1	|- H e. CH

Assertion

Ref	Expression
pjtheu	|- (A e. H~ -> E!x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,H,y

Proof of Theorem pjtheu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjtheu.1	. . . 4 |- H e. CH
2		pjtht 9149	. . . 4 |- ((H e. CH /\ A e. H~) -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))
3	1, 2	mpan 693	. . 3 |- (A e. H~ -> E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))
4	1	chocuni 9088	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x e. H /\ y e. (_|_` H)) /\ (z e. H /\ w e. (_|_` H))) -> ((A = (x +h y) /\ A = (z +h w)) -> (x = z /\ y = w)))
5	4	an4s 507	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x e. H /\ z e. H) /\ (y e. (_|_` H) /\ w e. (_|_` H))) -> ((A = (x +h y) /\ A = (z +h w)) -> (x = z /\ y = w)))
6		pm3.26 319	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = z /\ y = w) -> x = z)
7	5, 6	syl6 22	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. H /\ z e. H) /\ (y e. (_|_` H) /\ w e. (_|_` H))) -> ((A = (x +h y) /\ A = (z +h w)) -> x = z))
8	7	ex 373	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. H /\ z e. H) -> ((y e. (_|_` H) /\ w e. (_|_` H)) -> ((A = (x +h y) /\ A = (z +h w)) -> x = z)))
9	8	imp3a 361	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H /\ z e. H) -> (((y e. (_|_` H) /\ w e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h y) /\ A = (z +h w))) -> x = z))
10	9	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((A e. H~ /\ (x e. H /\ z e. H)) -> (((y e. (_|_` H) /\ w e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h y) /\ A = (z +h w))) -> x = z))
11	10	19.23advv 1292	. . . . . . 7 |- ((A e. H~ /\ (x e. H /\ z e. H)) -> (E.yE.w((y e. (_|_` H) /\ w e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h y) /\ A = (z +h w))) -> x = z))
12		opreq2 3954	. . . . . . . . . . 11 |- (y = w -> (z +h y) = (z +h w))
13	12	eqeq2d 1478	. . . . . . . . . 10 |- (y = w -> (A = (z +h y) <-> A = (z +h w)))
14	13	cbvrexv 1792	. . . . . . . . 9 |- (E.y e. (_|_` H)A = (z +h y) <-> E.w e. (_|_` H)A = (z +h w))
15	14	anbi2i 479	. . . . . . . 8 |- ((E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.y e. (_|_` H)A = (z +h y)) <-> (E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.w e. (_|_` H)A = (z +h w)))
16		reeanv 1770	. . . . . . . 8 |- (E.y e. (_|_` H)E.w e. (_|_` H)(A = (x +h y) /\ A = (z +h w)) <-> (E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.w e. (_|_` H)A = (z +h w)))
17		r2ex 1683	. . . . . . . 8 |- (E.y e. (_|_` H)E.w e. (_|_` H)(A = (x +h y) /\ A = (z +h w)) <-> E.yE.w((y e. (_|_` H) /\ w e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h y) /\ A = (z +h w))))
18	15, 16, 17	3bitr2 179	. . . . . . 7 |- ((E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.y e. (_|_` H)A = (z +h y)) <-> E.yE.w((y e. (_|_` H) /\ w e. (_|_` H)) /\ (A = (x +h y) /\ A = (z +h w))))
19	11, 18	syl5ib 206	. . . . . 6 |- ((A e. H~ /\ (x e. H /\ z e. H)) -> ((E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.y e. (_|_` H)A = (z +h y)) -> x = z))
20	19	exp32 377	. . . . 5 |- (A e. H~ -> (x e. H -> (z e. H -> ((E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.y e. (_|_` H)A = (z +h y)) -> x = z))))
21	20	r19.21adv 1710	. . . 4 |- (A e. H~ -> (x e. H -> A.z e. H ((E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.y e. (_|_` H)A = (z +h y)) -> x = z)))
22	21	r19.21aiv 1705	. . 3 |- (A e. H~ -> A.x e. H A.z e. H ((E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.y e. (_|_` H)A = (z +h y)) -> x = z))
23	3, 22	jca 288	. 2 |- (A e. H~ -> (E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ A.x e. H A.z e. H ((E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.y e. (_|_` H)A = (z +h y)) -> x = z)))
24		opreq1 3953	. . . . 5 |- (x = z -> (x +h y) = (z +h y))
25	24	eqeq2d 1478	. . . 4 |- (x = z -> (A = (x +h y) <-> A = (z +h y)))
26	25	rexbidv 1656	. . 3 |- (x = z -> (E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) <-> E.y e. (_|_` H)A = (z +h y)))
27	26	reu4 1924	. 2 |- (E!x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) <-> (E.x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ A.x e. H A.z e. H ((E.y e. (_|_` H)A = (x +h y) /\ E.y e. (_|_` H)A = (z +h y)) -> x = z)))
28	23, 27	sylibr 200	1 |- (A e. H~ -> E!x e. H E.y e. (_|_` H)A = (x +h y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  A.wral 1637  E.wrex 1638  E!wreu 1639  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727   +h cva 8728  CHcch 8737  _|_cort 8738

This theorem is referenced by:  pjtheut 9151  pjtheu2 9165  pjpj0 9170

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-uz 6350  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045  df-ch0 9046

Copyright terms: Public domain