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Theorem pjthlem1 18817
Description: Lemma for pjth 18819. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjthlem.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
pjthlem.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
pjthlem.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
pjthlem.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
pjthlem.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjthlem.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
pjthlem.2  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pjthlem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pjthlem.5  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
pjthlem.7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
pjthlem.8  |-  T  =  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
pjthlem1  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  =  0 )
Distinct variable groups:    x,  .-    x, A   
x, B    x, N    ph, x    x, U    x, V    x, T    x, W
Allowed substitution hints:    .+ ( x)    ., ( x)    L( x)

Proof of Theorem pjthlem1
StepHypRef Expression
1 pjthlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
2 hlcph 18797 . . . 4  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
4 pjthlem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 pjthlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
6 pjthlem.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
7 pjthlem.l . . . . . 6  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
86, 7lssss 15710 . . . . 5  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
95, 8syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
10 pjthlem.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U )
119, 10sseldd 3194 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
12 pjthlem.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
136, 12cphipcl 18643 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  CC )
143, 4, 11, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  CC )
1514abscld 11934 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  e.  RR )
1615recnd 8877 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  e.  CC )
1715resqcld 11287 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1817renegcld 9226 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
-u ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  e.  RR )
196, 12reipcl 18649 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V )  ->  ( B  .,  B )  e.  RR )
203, 11, 19syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  e.  RR )
21 2re 9831 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
22 readdcl 8836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )
24 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2524a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
26 peano2re 9001 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  .,  B )  e.  RR  ->  (
( B  .,  B
)  +  1 )  e.  RR )
2720, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR )
286, 12ipge0 18650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( B  .,  B
) )
293, 11, 28syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B  .,  B ) )
3020ltp1d 9703 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  <  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
3125, 20, 27, 29, 30lelttrd 8990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
3227ltp1d 9703 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  <  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  +  1 ) )
3320recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  .,  B
)  e.  CC )
34 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
35 addass 8840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B 
.,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3634, 34, 35mp3an23 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  .,  B )  e.  CC  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B 
.,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
3733, 36syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( B  .,  B )  +  ( 1  +  1 ) ) )
38 df-2 9820 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
3938oveq2i 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  .,  B )  +  2 )  =  ( ( B  .,  B )  +  ( 1  +  1 ) )
4037, 39syl6reqr 2347 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  =  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  +  1 ) )
4132, 40breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  <  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )
4225, 27, 23, 31, 41lttrd 8993 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )
43 cphlmod 18626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
443, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
45 pjthlem.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )
46 hlphl 18798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. 
PreHil )
471, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
48 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
49 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
5048, 12, 6, 49ipcl 16553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
5147, 4, 11, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5248, 49hlress 18801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  CHil  ->  RR  C_  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )
531, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  RR  C_  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5453, 27sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5520, 29ge0p1rpd 10432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR+ )
5655rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  =/=  0 )
5748, 49cphdivcl 18634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( A  .,  B
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
( B  .,  B
)  +  1 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( A 
.,  B )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
583, 51, 54, 56, 57syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
5945, 58syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
60 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
6148, 60, 49, 7lssvscl 15728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  B  e.  U )
)  ->  ( T
( .s `  W
) B )  e.  U )
6244, 5, 59, 10, 61syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  U )
63 pjthlem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) ) )
64 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  ( A  .-  x )  =  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )
6564fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
6665breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( T ( .s `  W ) B )  ->  (
( N `  A
)  <_  ( N `  ( A  .-  x
) )  <->  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ) )
6766rspcv 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T ( .s `  W ) B )  e.  U  ->  ( A. x  e.  U  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  x ) )  ->  ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ) )
6862, 63, 67sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
69 cphngp 18625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
703, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
71 pjthlem.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( norm `  W
)
726, 71nmcl 18153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
7370, 4, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
746, 48, 60, 49lmodvscl 15660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  B  e.  V )  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  V )
7544, 59, 11, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T ( .s
`  W ) B )  e.  V )
76 pjthlem.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .-  =  ( -g `  W )
776, 76lmodvsubcl 15686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )
7844, 4, 75, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )
796, 71nmcl 18153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) )  e.  RR )
8070, 78, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  e.  RR )
816, 71nmge0 18154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
8270, 4, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
836, 71nmge0 18154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
8470, 78, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
8573, 80, 82, 84le2sqd 11296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  <_  ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) )  <->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
8668, 85mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s
`  W ) B ) ) ) ^
2 ) )
8780resqcld 11287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
8873resqcld 11287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  RR )
8987, 88subge0d 9378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )  <->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  <_ 
( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9086, 89mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
91 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
92 rpexpcl 11138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
9355, 91, 92sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  RR+ )
9417, 93rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  RR )
9594, 23remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  RR )
9695recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  CC )
9796negcld 9160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  CC )
986, 12cphipcl 18643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  A )  e.  CC )
993, 4, 4, 98syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  .,  A
)  e.  CC )
10097, 99pncand 9174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) )  +  ( A  .,  A
) )  -  ( A  .,  A ) )  =  -u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
1016, 12, 71nmsq 18646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V )  ->  (
( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1023, 78, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) )
10312, 6, 76cphsubdir 18659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  V ) )  -> 
( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
1043, 4, 75, 78, 103syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( A 
.-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
10512, 6, 76cphsubdi 18660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V ) )  ->  ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1063, 4, 4, 75, 105syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) )
107106oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )
1086, 12cphipcl 18643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
1093, 4, 75, 108syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
11012, 6, 76cphsubdi 18660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
( T ( .s
`  W ) B )  e.  V  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V ) )  ->  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( ( T ( .s
`  W ) B )  .,  A )  -  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1113, 75, 4, 75, 110syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  A )  -  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )
1126, 12cphipcl 18643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  A )  e.  CC )
1133, 75, 4, 112syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  A
)  e.  CC )
1146, 12cphipcl 18643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
1153, 75, 75, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  CC )
116113, 115subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  e.  CC )
117111, 116eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  e.  CC )
11899, 109, 117subsub4d 9204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.,  A )  -  ( A  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  (
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) ) )
11994recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  e.  CC )
12027recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  1 )  e.  CC )
12134a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
122119, 120, 121adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) ) )
12340oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  +  1 ) ) )
12412, 6, 48, 49, 60cphassr 18663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) ) )
1253, 59, 4, 11, 124syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) ) )
12614, 120, 56divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  CC )
12745, 126syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
128127cjcld 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  e.  CC )
129128, 14mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( * `  T )  x.  ( A  .,  B ) )  =  ( ( A 
.,  B )  x.  ( * `  T
) ) )
13014cjcld 11697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  B ) )  e.  CC )
13114, 130, 120, 56divassd 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.,  B )  x.  ( * `  ( A  .,  B ) ) )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( A 
.,  B )  x.  ( ( * `  ( A  .,  B ) )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
13214absvalsqd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  ( A  .,  B ) ) ) )
133132oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( A  .,  B )  x.  ( * `  ( A  .,  B ) ) )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
13445fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( * `
 T )  =  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
13514, 120, 56cjdivd 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( * `  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
13627cjred 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  =  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
137136oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( * `  ( A  .,  B ) )  /  ( * `
 ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `
 ( A  .,  B ) )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
138135, 137eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( * `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
139134, 138syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( * `  T
)  =  ( ( * `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
140139oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( A  .,  B )  x.  ( ( * `
 ( A  .,  B ) )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
141131, 133, 1403eqtr4rd 2339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
142125, 129, 1413eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
14317recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
144143, 120mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) )
145120sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
146144, 145oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) ) )
147143, 120, 120, 56, 56divcan5d 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B )  +  1 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )
148146, 147eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
14993rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  e.  CC )
15093rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 )  =/=  0 )
151143, 120, 149, 150div23d 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
152142, 148, 1513eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
15394, 27remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  e.  RR )
154152, 153eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  e.  RR )
155154cjred 11727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )
15612, 6cphipcj 18651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( T ( .s `  W ) B )  e.  V )  -> 
( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A ) )
1573, 4, 75, 156syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( * `  ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A ) )
158155, 157, 1523eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  A
)  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )
15912, 6, 48, 49, 60cph2ass 18664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( T  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  T  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) ) )  /\  ( B  e.  V  /\  B  e.  V
) )  ->  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) )  =  ( ( T  x.  ( * `  T ) )  x.  ( B  .,  B
) ) )
1603, 59, 59, 11, 11, 159syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( T  x.  ( * `
 T ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
16145fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( abs `  T )  =  ( abs `  ( ( A  .,  B )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
16214, 120, 56absdivd 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) ) )
16355rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
16427, 163absidd 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  =  ( ( B  .,  B )  +  1 ) )
165164oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) )  /  ( abs `  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  .,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
166162, 165eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  /  ( ( B  .,  B )  +  1 ) ) )  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
167161, 166syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  =  ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) )
168167oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) )  /  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ) ^
2 ) )
169127absvalsqd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
) ^ 2 )  =  ( T  x.  ( * `  T
) ) )
17016, 120, 56sqdivd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) )  /  (
( B  .,  B
)  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
171168, 169, 1703eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( T  x.  (
* `  T )
)  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
172171oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  ( * `  T
) )  x.  ( B  .,  B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
173160, 172eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) )
174158, 173oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( T ( .s `  W
) B )  .,  A )  -  (
( T ( .s
`  W ) B )  .,  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
175 pncan2 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  .,  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  -  ( B  .,  B ) )  =  1 )
17633, 34, 175sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( B 
.,  B )  +  1 )  -  ( B  .,  B ) )  =  1 )
177176oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  -  ( B 
.,  B ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) )
178119, 120, 33subdid 9251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( ( B  .,  B )  +  1 )  -  ( B 
.,  B ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
179177, 178eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  1 ) )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( B  .,  B ) ) ) )
180174, 111, 1793eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( T ( .s `  W ) B )  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) )
181152, 180oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  1 ) )  +  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  1 ) ) )
182122, 123, 1813eqtr4rd 2339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
183182oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  -  (
( A  .,  ( T ( .s `  W ) B ) )  +  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ) )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
184107, 118, 1833eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) )  -  ( ( T ( .s `  W ) B ) 
.,  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) )  =  ( ( A  .,  A )  -  (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) ) )
185102, 104, 1843eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( A 
.,  A )  -  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
18699, 96negsubd 9179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )  =  ( ( A  .,  A
)  -  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) ) )
18799, 97addcomd 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  A )  +  -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )  =  (
-u ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  +  ( A 
.,  A ) ) )
188185, 186, 1873eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W
) B ) ) ) ^ 2 )  =  ( -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) )  +  ( A  .,  A
) ) )
1896, 12, 71nmsq 18646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( N `  A
) ^ 2 )  =  ( A  .,  A ) )
1903, 4, 189syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A ) ^ 2 )  =  ( A 
.,  A ) )
191188, 190oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( -u ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  +  ( A 
.,  A ) )  -  ( A  .,  A ) ) )
19223renegcld 9226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B 
.,  B )  +  2 )  e.  RR )
193192recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u ( ( B 
.,  B )  +  2 )  e.  CC )
194143, 193, 149, 150div23d 9589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) ) )
19523recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  CC )
196119, 195mulneg2d 9249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  / 
( ( ( B 
.,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  =  -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) )
197194, 196eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  -u (
( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) )  x.  ( ( B 
.,  B )  +  2 ) ) )
198100, 191, 1973eqtr4rd 2339 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A  .-  ( T ( .s `  W ) B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
19990, 198breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  /  (
( ( B  .,  B )  +  1 ) ^ 2 ) ) )
20017, 192remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  e.  RR )
201200, 93ge0divd 10440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  <->  0  <_  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  x.  -u (
( B  .,  B
)  +  2 ) )  /  ( ( ( B  .,  B
)  +  1 ) ^ 2 ) ) ) )
202199, 201mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
203 mulneg12 9234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  CC )  ->  ( -u ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
204143, 195, 203syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  -u ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
205202, 204breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( -u (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) )
206 prodge02 9620 . . . . . 6  |-  ( ( ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  ( ( B  .,  B )  +  2 )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( ( B  .,  B )  +  2 )  /\  0  <_  ( -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  x.  ( ( B  .,  B )  +  2 ) ) ) )  ->  0  <_  -u (
( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) )
20718, 23, 42, 205, 206syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  -u ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 ) )
20817le0neg1d 9360 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  <_  0  <->  0  <_  -u ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) )
209207, 208mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0 )
21015sqge0d 11288 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^
2 ) )
211 letri3 8923 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( ( abs `  ( A 
.,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) ) )
21217, 24, 211sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  .,  B
) ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 ) ) ) )
213209, 210, 212mpbir2and 888 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  .,  B ) ) ^ 2 )  =  0 )
21416, 213sqeq0d 11260 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  B ) )  =  0 )
21514, 214abs00d 11944 1  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ^cexp 11120   *ccj 11597   abscabs 11735   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   .icip 13229   -gcsg 14381   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   PreHilcphl 16544   normcnm 18115  NrmGrpcngp 18116   CPreHilccph 18618   CHilchl 18772
This theorem is referenced by:  pjthlem2  18818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-staf 15626  df-srng 15627  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-phl 16546  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650  df-fcls 17652  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nlm 18125  df-cncf 18398  df-clm 18577  df-cph 18620  df-cfil 18697  df-cmet 18699  df-cms 18773  df-bn 18774  df-hl 18775
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