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Theorem pjthlem2 18818
Description: Lemma for pjth 18819. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pjthlem.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
pjthlem.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
pjthlem.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
pjthlem.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
pjthlem.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
pjthlem.l  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
pjthlem.1  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
pjthlem.2  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
pjthlem.4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pjthlem.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
pjthlem.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
pjthlem.o  |-  O  =  ( ocv `  W
)
pjthlem.3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
Assertion
Ref Expression
pjthlem2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )

Proof of Theorem pjthlem2
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjthlem.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 pjthlem.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
3 pjthlem.n . . . 4  |-  N  =  ( norm `  W
)
4 pjthlem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  CHil )
5 hlcph 18797 . . . . 5  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e.  CPreHil )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
7 pjthlem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  L )
8 pjthlem.l . . . . 5  |-  L  =  ( LSubSp `  W )
97, 8syl6eleq 2386 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  ( LSubSp `  W ) )
10 pjthlem.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Clsd `  J ) )
11 hlcms 18799 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CHil  ->  W  e. CMetSp
)
124, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. CMetSp )
131, 8lssss 15710 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  L  ->  U  C_  V )
147, 13syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  C_  V )
15 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Ws  U )  =  ( Ws  U )
16 pjthlem.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
1715, 1, 16cmsss 18788 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. CMetSp  /\  U  C_  V )  ->  (
( Ws  U )  e. CMetSp  <->  U  e.  ( Clsd `  J )
) )
1812, 14, 17syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Ws  U )  e. CMetSp 
<->  U  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1910, 18mpbird 223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Ws  U )  e. CMetSp )
20 pjthlem.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
211, 2, 3, 6, 9, 19, 20minvec 18816 . . 3  |-  ( ph  ->  E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
22 reurex 2767 . . 3  |-  ( E! x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_ 
( N `  ( A  .-  y ) )  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2321, 22syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
246adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
25 cphlmod 18626 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  LMod )
2624, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
27 lmodabl 15688 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
2826, 27syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Abel )
297adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  L )
3029, 13syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  C_  V
)
31 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  U )
3230, 31sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  x  e.  V )
3320adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  V )
34 pjthlem.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
351, 34, 2ablpncan3 15134 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
x  e.  V  /\  A  e.  V )
)  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
3628, 32, 33, 35syl12anc 1180 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  =  A )
378lsssssubg 15731 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3826, 37syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  L  C_  (SubGrp `  W ) )
3938, 29sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
40 cphphl 18623 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
4124, 40syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  PreHil )
42 pjthlem.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( ocv `  W
)
431, 42, 8ocvlss 16588 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  U  C_  V )  ->  ( O `  U )  e.  L )
4441, 30, 43syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  L
)
4538, 44sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W ) )
461, 2lmodvsubcl 15686 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A  .-  x )  e.  V )
4726, 33, 32, 46syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  V
)
48 pjthlem.h . . . . . . . . . 10  |-  .,  =  ( .i `  W )
494ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CHil )
5029adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  U  e.  L )
5147adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( A  .-  x
)  e.  V )
52 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  z  e.  U )
5326adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  LMod )
5429adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  U  e.  L )
55 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  U )
5631adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  U )
5734, 8lssvacl 15727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  L )  /\  ( w  e.  U  /\  x  e.  U ) )  -> 
( w  .+  x
)  e.  U )
5853, 54, 55, 56, 57syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( w  .+  x
)  e.  U )
59 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
60 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( A  .-  y )  =  ( A  .-  (
w  .+  x )
) )
6160fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  =  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
6261breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( w  .+  x )  ->  (
( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  <->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  (
w  .+  x )
) ) ) )
6362rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  .+  x )  e.  U  ->  ( A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w  .+  x
) ) ) ) )
6458, 59, 63sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  ( w 
.+  x ) ) ) )
65 lmodgrp 15650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
6626, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  W  e.  Grp )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  W  e.  Grp )
6833adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  A  e.  V )
6932adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  x  e.  V )
7030sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  w  e.  V )
711, 34, 2grpsubsub4 14574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( A  e.  V  /\  x  e.  V  /\  w  e.  V
) )  ->  (
( A  .-  x
)  .-  w )  =  ( A  .-  ( w  .+  x ) ) )
7267, 68, 69, 70, 71syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .-  w
)  =  ( A 
.-  ( w  .+  x ) ) )
7372fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  (
( A  .-  x
)  .-  w )
)  =  ( N `
 ( A  .-  ( w  .+  x ) ) ) )
7464, 73breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  w  e.  U )  ->  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
7574ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w ) ) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  A. w  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( ( A  .-  x )  .-  w
) ) )
77 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  .-  x
)  .,  z )  /  ( ( z 
.,  z )  +  1 ) )  =  ( ( ( A 
.-  x )  .,  z )  /  (
( z  .,  z
)  +  1 ) )
781, 3, 34, 2, 48, 8, 49, 50, 51, 52, 76, 77pjthlem1 18817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  0 )
7924adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e.  CPreHil )
80 cphclm 18641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  W  e. CMod )
82 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
8382clm0 18586 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
8481, 83syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  0  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8578, 84eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  /\  z  e.  U )  ->  ( ( A  .-  x )  .,  z
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
8685ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )
87 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
881, 48, 82, 87, 42elocv 16584 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .-  x )  e.  ( O `  U )  <->  ( U  C_  V  /\  ( A 
.-  x )  e.  V  /\  A. z  e.  U  ( ( A  .-  x )  .,  z )  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ) )
8930, 47, 86, 88syl3anbrc 1136 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U ) )
90 pjthlem.s . . . . . . 7  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
9134, 90lsmelvali 14977 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  (SubGrp `  W )  /\  ( O `  U )  e.  (SubGrp `  W )
)  /\  ( x  e.  U  /\  ( A  .-  x )  e.  ( O `  U
) ) )  -> 
( x  .+  ( A  .-  x ) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9239, 45, 31, 89, 91syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  ( x  .+  ( A  .-  x
) )  e.  ( U  .(+)  ( O `  U ) ) )
9336, 92eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x
) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) )  ->  A  e.  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) )
9493expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  ( A. y  e.  U  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  A  e.  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) ) )
9594rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  U  A. y  e.  U  ( N `  ( A  .-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y
) )  ->  A  e.  ( U  .(+)  ( O `
 U ) ) ) )
9623, 95mpd 14 1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( U 
.(+)  ( O `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   E!wreu 2558    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    <_ cle 8884    / cdiv 9439   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .icip 13229   TopOpenctopn 13342   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378   -gcsg 14381  SubGrpcsubg 14631   LSSumclsm 14961   Abelcabel 15106   LModclmod 15643   LSubSpclss 15705   PreHilcphl 16544   ocvcocv 16576   Clsdccld 16769   normcnm 18115  CModcclm 18576   CPreHilccph 18618  CMetSpccms 18770   CHilchl 18772
This theorem is referenced by:  pjth  18819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-staf 15626  df-srng 15627  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lmhm 15795  df-lvec 15872  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-phl 16546  df-ocv 16579  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650  df-fcls 17652  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-nm 18121  df-ngp 18122  df-nlm 18125  df-cncf 18398  df-clm 18577  df-cph 18620  df-cfil 18697  df-cmet 18699  df-cms 18773  df-bn 18774  df-hl 18775
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