MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjval Unicode version

Theorem pjval 16626
Description: Value of the projection map. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjfval2.o  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
pjfval2.p  |-  P  =  ( proj 1 `  W )
pjfval2.k  |-  K  =  ( proj `  W
)
Assertion
Ref Expression
pjval  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T P (  ._|_  `  T
) ) )

Proof of Theorem pjval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . 3  |-  ( x  =  T  ->  x  =  T )
2 fveq2 5541 . . 3  |-  ( x  =  T  ->  (  ._|_  `  x )  =  (  ._|_  `  T ) )
31, 2oveq12d 5892 . 2  |-  ( x  =  T  ->  (
x P (  ._|_  `  x ) )  =  ( T P ( 
._|_  `  T ) ) )
4 pjfval2.o . . 3  |-  ._|_  =  ( ocv `  W )
5 pjfval2.p . . 3  |-  P  =  ( proj 1 `  W )
6 pjfval2.k . . 3  |-  K  =  ( proj `  W
)
74, 5, 6pjfval2 16625 . 2  |-  K  =  ( x  e.  dom  K 
|->  ( x P ( 
._|_  `  x ) ) )
8 ovex 5899 . 2  |-  ( T P (  ._|_  `  T
) )  e.  _V
93, 7, 8fvmpt 5618 1  |-  ( T  e.  dom  K  -> 
( K `  T
)  =  ( T P (  ._|_  `  T
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   proj 1cpj1 14962   ocvcocv 16576   projcpj 16616
This theorem is referenced by:  pjf  16629  pjf2  16630  pjfo  16631
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-pj 16619
  Copyright terms: Public domain W3C validator