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Theorem pl42lem1N 30168
Description: Lemma for pl42N 30172. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pl42lem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pl42lem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pl42lem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
pl42lem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
pl42lem.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
pl42lem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pl42lem1N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) ) )

Proof of Theorem pl42lem1N
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 29553 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp12 986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  X  e.  B
)
5 simp13 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  Y  e.  B
)
6 pl42lem.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 pl42lem.j . . . . . . . 8  |-  .\/  =  ( join `  K )
86, 7latjcl 14156 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
93, 4, 5, 8syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
10 simp21 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  Z  e.  B
)
11 pl42lem.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
126, 11latmcl 14157 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  e.  B )
133, 9, 10, 12syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  ./\  Z )  e.  B )
14 simp22 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  W  e.  B
)
156, 7latjcl 14156 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  (
( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  .\/  W )  e.  B
)
163, 13, 14, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  e.  B )
17 simp23 990 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  V  e.  B
)
18 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
19 pl42lem.f . . . . 5  |-  F  =  ( pmap `  K
)
206, 11, 18, 19pmapmeet 29962 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( X 
.\/  Y )  ./\  Z )  .\/  W )  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  ( F `  ( (
( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  .\/  W )  ./\  V
) )  =  ( ( F `  (
( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  .\/  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) )
211, 16, 17, 20syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( F `  ( ( ( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  .\/  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) )
22 pl42lem.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
23 hlop 29552 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
241, 23syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  K  e.  OP )
25 pl42lem.o . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
266, 25opoccl 29384 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  (  ._|_  `  W )  e.  B )
2724, 14, 26syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  (  ._|_  `  W
)  e.  B )
286, 22, 11latmle2 14183 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  .<_  Z )
293, 9, 10, 28syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  ./\  Z )  .<_  Z )
30 simp3r 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )
316, 22, 3, 13, 10, 27, 29, 30lattrd 14164 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  ./\  Z )  .<_  (  ._|_  `  W ) )
32 pl42lem.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( + P `  K
)
336, 22, 7, 19, 25, 32pmapojoinN 30157 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  (
( X  .\/  Y
)  ./\  Z )  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( X 
.\/  Y )  ./\  Z )  .\/  W ) )  =  ( ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z ) ) 
.+  ( F `  W ) ) )
341, 13, 14, 31, 33syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( X 
.\/  Y )  ./\  Z )  .\/  W ) )  =  ( ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z ) ) 
.+  ( F `  W ) ) )
356, 11, 18, 19pmapmeet 29962 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z ) )  =  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  i^i  ( F `  Z ) ) )
361, 9, 10, 35syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  =  ( ( F `  ( X 
.\/  Y ) )  i^i  ( F `  Z ) ) )
37 simp3l 983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  X  .<_  (  ._|_  `  Y ) )
386, 22, 7, 19, 25, 32pmapojoinN 30157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X  .<_  (  ._|_  `  Y ) )  -> 
( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) ) )
391, 4, 5, 37, 38syl31anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  =  ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) ) )
4039ineq1d 3369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( F `
 ( X  .\/  Y ) )  i^i  ( F `  Z )
)  =  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) ) )
4136, 40eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  ./\  Z )
)  =  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) ) )
4241oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( X 
.\/  Y )  ./\  Z ) )  .+  ( F `  W )
)  =  ( ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  .+  ( F `  W ) ) )
4334, 42eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( X 
.\/  Y )  ./\  Z )  .\/  W ) )  =  ( ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  .+  ( F `  W ) ) )
4443ineq1d 3369 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( F `
 ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W ) )  i^i  ( F `  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) )
4521, 44eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) )
46453expia 1153 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    i^i cin 3151   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   occoc 13216   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   OPcops 29362   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   pmapcpmap 29686   + Pcpadd 29984
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  30171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-polarityN 30092  df-psubclN 30124
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