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Theorem pl42lem2N 30777
Description: Lemma for pl42N 30780. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pl42lem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pl42lem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pl42lem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
pl42lem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
pl42lem.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
pl42lem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pl42lem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )

Proof of Theorem pl42lem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30161 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
5 simpl3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
6 pl42lem.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 pl42lem.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
86, 7latjcl 14479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
93, 4, 5, 8syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
10 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
11 pl42lem.f . . . . . 6  |-  F  =  ( pmap `  K
)
126, 10, 11pmapssat 30556 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( F `  ( X  .\/  Y ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) )
131, 9, 12syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
14 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
156, 7latjcl 14479 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  .\/  W
)  e.  B )
163, 4, 14, 15syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  W )  e.  B )
17 simpr3 965 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  V  e.  B )
186, 7latjcl 14479 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  ( Y  .\/  V
)  e.  B )
193, 5, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  V )  e.  B )
20 pl42lem.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
216, 20latmcl 14480 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  W )  e.  B  /\  ( Y  .\/  V )  e.  B )  ->  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )
223, 16, 19, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )
236, 10, 11pmapssat 30556 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
241, 22, 23syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
251, 13, 243jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) ) )
26 pl42lem.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( + P `  K
)
276, 7, 11, 26pmapjoin 30649 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  Y
) ) )
283, 4, 5, 27syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )
296, 7, 11, 26pmapjoin 30649 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  W
) ) )
303, 4, 14, 29syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  C_  ( F `  ( X 
.\/  W ) ) )
316, 7, 11, 26pmapjoin 30649 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
)  C_  ( F `  ( Y  .\/  V
) ) )
323, 5, 17, 31syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  Y
)  .+  ( F `  V ) )  C_  ( F `  ( Y 
.\/  V ) ) )
33 ss2in 3568 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  W
) )  /\  (
( F `  Y
)  .+  ( F `  V ) )  C_  ( F `  ( Y 
.\/  V ) ) )  ->  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) )  C_  (
( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `  ( Y  .\/  V ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( ( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `
 ( Y  .\/  V ) ) ) )
356, 20, 10, 11pmapmeet 30570 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  W )  e.  B  /\  ( Y  .\/  V )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  =  ( ( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `  ( Y  .\/  V ) ) ) )
361, 16, 19, 35syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  =  ( ( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `  ( Y  .\/  V ) ) ) )
3734, 36sseqtr4d 3385 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )
3828, 37jca 519 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  /\  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
3910, 26paddss12 30616 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  /\  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y ) 
.+  ( F `  V ) ) ) )  C_  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  .+  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) ) )
4025, 38, 39sylc 58 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  .+  ( F `
 ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
416, 7, 11, 26pmapjoin 30649 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) 
.+  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
423, 9, 22, 41syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) 
.+  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
4340, 42sstrd 3358 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   lecple 13536   occoc 13537   joincjn 14401   meetcmee 14402   Latclat 14474   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   pmapcpmap 30294   + Pcpadd 30592
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  30779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-undef 6543  df-riota 6549  df-poset 14403  df-lub 14431  df-glb 14432  df-join 14433  df-meet 14434  df-lat 14475  df-clat 14537  df-ats 30065  df-atl 30096  df-cvlat 30120  df-hlat 30149  df-pmap 30301  df-padd 30593
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