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Theorem pl42lem2N 30791
Description: Lemma for pl42N 30794. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pl42lem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pl42lem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pl42lem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
pl42lem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
pl42lem.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
pl42lem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pl42lem2N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )

Proof of Theorem pl42lem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30175 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
5 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
6 pl42lem.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 pl42lem.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
86, 7latjcl 14172 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
93, 4, 5, 8syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
10 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
11 pl42lem.f . . . . . 6  |-  F  =  ( pmap `  K
)
126, 10, 11pmapssat 30570 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B )  -> 
( F `  ( X  .\/  Y ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) )
131, 9, 12syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
14 simpr2 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
156, 7latjcl 14172 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  .\/  W
)  e.  B )
163, 4, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  W )  e.  B )
17 simpr3 963 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  V  e.  B )
186, 7latjcl 14172 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  ( Y  .\/  V
)  e.  B )
193, 5, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  V )  e.  B )
20 pl42lem.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
216, 20latmcl 14173 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  W )  e.  B  /\  ( Y  .\/  V )  e.  B )  ->  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )
223, 16, 19, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )
236, 10, 11pmapssat 30570 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
241, 22, 23syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
251, 13, 243jca 1132 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( F `  ( X  .\/  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) ) )
26 pl42lem.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( + P `  K
)
276, 7, 11, 26pmapjoin 30663 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  Y
) ) )
283, 4, 5, 27syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) )
296, 7, 11, 26pmapjoin 30663 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  W
) ) )
303, 4, 14, 29syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  C_  ( F `  ( X 
.\/  W ) ) )
316, 7, 11, 26pmapjoin 30663 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  V  e.  B )  ->  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
)  C_  ( F `  ( Y  .\/  V
) ) )
323, 5, 17, 31syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  Y
)  .+  ( F `  V ) )  C_  ( F `  ( Y 
.\/  V ) ) )
33 ss2in 3409 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  W
) )  /\  (
( F `  Y
)  .+  ( F `  V ) )  C_  ( F `  ( Y 
.\/  V ) ) )  ->  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) )  C_  (
( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `  ( Y  .\/  V ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( ( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `
 ( Y  .\/  V ) ) ) )
356, 20, 10, 11pmapmeet 30584 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .\/  W )  e.  B  /\  ( Y  .\/  V )  e.  B )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  =  ( ( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `  ( Y  .\/  V ) ) ) )
361, 16, 19, 35syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) )  =  ( ( F `  ( X  .\/  W ) )  i^i  ( F `  ( Y  .\/  V ) ) ) )
3734, 36sseqtr4d 3228 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )
3828, 37jca 518 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  /\  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
3910, 26paddss12 30630 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  ( X 
.\/  Y ) ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) 
C_  ( Atoms `  K
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( F `  ( X  .\/  Y
) )  /\  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )  ->  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y ) 
.+  ( F `  V ) ) ) )  C_  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  .+  ( F `  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) ) )
4025, 38, 39sylc 56 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( ( F `  ( X  .\/  Y ) )  .+  ( F `
 ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
416, 7, 11, 26pmapjoin 30663 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  (
( X  .\/  W
)  ./\  ( Y  .\/  V ) )  e.  B )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) 
.+  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
423, 9, 22, 41syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  ( X  .\/  Y ) ) 
.+  ( F `  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
4340, 42sstrd 3202 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   occoc 13232   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   pmapcpmap 30308   + Pcpadd 30606
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  30793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-lat 14168  df-clat 14230  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-pmap 30315  df-padd 30607
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