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Theorem pl42lem3N 30095
Description: Lemma for pl42N 30097. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pl42lem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pl42lem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pl42lem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
pl42lem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
pl42lem.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
pl42lem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pl42lem3N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) ) )

Proof of Theorem pl42lem3N
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
3 pl42lem.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
5 pl42lem.f . . . . . 6  |-  F  =  ( pmap `  K
)
63, 4, 5pmapssat 29873 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  C_  ( Atoms `  K ) )
71, 2, 6syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  C_  ( Atoms `  K )
)
8 simpl3 962 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
93, 4, 5pmapssat 29873 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y
)  C_  ( Atoms `  K ) )
101, 8, 9syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  C_  ( Atoms `  K )
)
11 pl42lem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( + P `  K
)
124, 11paddssat 29928 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  X ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( F `  Y )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( Atoms `  K ) )
131, 7, 10, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  C_  ( Atoms `  K )
)
14 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
153, 4, 5pmapssat 29873 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  B )  ->  ( F `  W
)  C_  ( Atoms `  K ) )
161, 14, 15syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  W )  C_  ( Atoms `  K )
)
17 inss1 3504 . . . 4  |-  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  C_  (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )
184, 11paddss1 29931 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  W )  C_  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  C_  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  ->  ( (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  .+  ( F `  W ) )  C_  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) ) ) )
1917, 18mpi 17 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  C_  ( Atoms `  K )  /\  ( F `  W )  C_  ( Atoms `  K )
)  ->  ( (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  .+  ( F `  W ) )  C_  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) ) )
201, 13, 16, 19syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  C_  ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) ) )
21 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  V  e.  B )
223, 4, 5pmapssat 29873 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  V  e.  B )  ->  ( F `  V
)  C_  ( Atoms `  K ) )
231, 21, 22syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  V )  C_  ( Atoms `  K )
)
244, 11sspadd2 29930 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  V ) 
C_  ( Atoms `  K
)  /\  ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y
) )  C_  ( Atoms `  K ) )  ->  ( F `  V )  C_  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( F `  V ) ) )
251, 23, 13, 24syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  V )  C_  ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 V ) ) )
26 ss2in 3511 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  C_  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  /\  ( F `
 V )  C_  ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 V ) ) )  ->  ( (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) )  C_  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) )  i^i  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) ) )
2720, 25, 26syl2anc 643 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3262    C_ wss 3263   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   occoc 13464   joincjn 14328   meetcmee 14329   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   pmapcpmap 29611   + Pcpadd 29909
This theorem is referenced by:  pl42lem4N  30096
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-pmap 29618  df-padd 29910
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