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Theorem pl42lem4N 30706
Description: Lemma for pl42N 30707. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pl42lem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
pl42lem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pl42lem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
pl42lem.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
pl42lem.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
pl42lem.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
pl42lem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
pl42lem4N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pl42lem4N
StepHypRef Expression
1 pl42lem.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 pl42lem.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 pl42lem.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 pl42lem.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
5 pl42lem.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
6 pl42lem.f . . . . 5  |-  F  =  ( pmap `  K
)
7 pl42lem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( + P `  K
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem1N 30703 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) ) )
983impia 1150 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  =  ( ( ( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `
 Z ) ) 
.+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `  V
) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem3N 30705 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) ) )
11 simpl1 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  HL )
12 hllat 30088 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
14 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
15 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
161, 15, 6pmapsub 30492 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( F `  X
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
1713, 14, 16syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  ( PSubSp `  K )
)
18 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
191, 15, 6pmapsub 30492 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B )  ->  ( F `  Y
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
2013, 18, 19syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  ( PSubSp `  K )
)
21 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  W  e.  B )
221, 15, 6pmapsub 30492 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  W  e.  B )  ->  ( F `  W
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
2313, 21, 22syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  W )  e.  ( PSubSp `  K )
)
24 simpr3 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  V  e.  B )
251, 15, 6pmapsub 30492 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  V  e.  B )  ->  ( F `  V
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
2613, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  ( F `  V )  e.  ( PSubSp `  K )
)
2715, 7pmodl42N 30575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  X
)  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( F `  Y )  e.  ( PSubSp `  K )
)  /\  ( ( F `  W )  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( F `  V
)  e.  ( PSubSp `  K ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( ( F `  X
)  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) )  =  ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) ) )
2811, 17, 20, 23, 26, 27syl32anc 1192 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) )  i^i  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) )  =  ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) ) )
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7pl42lem2N 30704 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  .+  ( (
( F `  X
)  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( ( F `  Y )  .+  ( F `  V )
) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
3028, 29eqsstrd 3374 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( F `
 X )  .+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `
 W ) )  i^i  ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  .+  ( F `  V ) ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
3110, 30sstrd 3350 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( ( ( ( F `  X ) 
.+  ( F `  Y ) )  i^i  ( F `  Z
) )  .+  ( F `  W )
)  i^i  ( F `  V ) )  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  ( ( X 
.\/  W )  ./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
32313adant3 977 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( ( ( ( ( F `  X )  .+  ( F `  Y )
)  i^i  ( F `  Z ) )  .+  ( F `  W ) )  i^i  ( F `
 V ) ) 
C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
339, 32eqsstrd 3374 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
)  /\  ( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) )
34333expia 1155 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( Z  e.  B  /\  W  e.  B  /\  V  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  (  ._|_  `  Y )  /\  Z  .<_  (  ._|_  `  W ) )  ->  ( F `  ( ( ( ( X  .\/  Y ) 
./\  Z )  .\/  W )  ./\  V )
)  C_  ( F `  ( ( X  .\/  Y )  .\/  ( ( X  .\/  W ) 
./\  ( Y  .\/  V ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   occoc 13529   joincjn 14393   meetcmee 14394   Latclat 14466   HLchlt 30075   PSubSpcpsubsp 30220   pmapcpmap 30221   + Pcpadd 30519
This theorem is referenced by:  pl42N  30707
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076  df-psubsp 30227  df-pmap 30228  df-padd 30520  df-polarityN 30627  df-psubclN 30659
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