Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plimfil Unicode version

Theorem plimfil 25558
Description: The predicate "is a limit of a filter". (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
plimfil.x  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
plimfil  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J ) `  { L } )  C_  F ) )

Proof of Theorem plimfil
StepHypRef Expression
1 plimfil.x . . . . 5  |-  X  = 
U. J
21toptopon 16671 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 elflim 17666 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( L  e.  X  /\  (
( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) ) )
42, 3sylanb 458 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  -> 
( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( L  e.  X  /\  ( ( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) ) )
54baibd 875 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X ) )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J
) `  { L } )  C_  F
) )
653impa 1146 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  L  e.  X )  ->  ( L  e.  ( J  fLim  F )  <->  ( ( nei `  J ) `  { L } )  C_  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   neicnei 16834   Filcfil 17540    fLim cflim 17629
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-top 16636  df-topon 16639  df-fbas 17520  df-fil 17541  df-flim 17634
  Copyright terms: Public domain W3C validator