MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltle Structured version   Unicode version

Theorem pltle 14423
Description: Less-than implies less-than-or-equal. (pssss 3444 analog.) (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pltval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
pltle  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  ->  X  .<_  Y ) )

Proof of Theorem pltle
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 pltval.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
31, 2pltval 14422 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
43simprbda 608 . 2  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C
)  /\  X  .<  Y )  ->  X  .<_  Y )
54ex 425 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  ->  X  .<_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4215   ` cfv 5457   lecple 13541   ltcplt 14403
This theorem is referenced by:  pleval2  14427  pltnlt  14430  pltn2lp  14431  plttr  14432  pospo  14435  ofldsqr  24245  ofldaddlt  24246  atnlt  30185  cvlcvr1  30211  hlrelat  30273  hlrelat3  30283  cvratlem  30292  atltcvr  30306  atlelt  30309  llnnlt  30394  lplnnle2at  30412  lplnnlt  30436  lvolnle3at  30453  lvolnltN  30489  cdlemblem  30664  cdlemb  30665  lhpexle1  30879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-plt 14420
  Copyright terms: Public domain W3C validator