MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pltval Structured version   Unicode version

Theorem pltval 14419
Description: Less-than relation. (df-pss 3338 analog.) (Contributed by NM, 12-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pltval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
pltval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
Assertion
Ref Expression
pltval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )

Proof of Theorem pltval
StepHypRef Expression
1 pltval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 pltval.s . . . . 5  |-  .<  =  ( lt `  K )
31, 2pltfval 14418 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  .<  =  (  .<_  \  _I  )
)
43breqd 4225 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X  .<  Y  <->  X (  .<_ 
\  _I  ) Y ) )
5 brdif 4262 . . . 4  |-  ( X (  .<_  \  _I  ) Y 
<->  ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y
) )
6 ideqg 5026 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  C  ->  ( X  _I  Y  <->  X  =  Y ) )
76necon3bbid 2637 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  C  ->  ( -.  X  _I  Y  <->  X  =/=  Y ) )
87adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( -.  X  _I  Y 
<->  X  =/=  Y ) )
98anbi2d 686 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( ( X  .<_  Y  /\  -.  X  _I  Y )  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
105, 9syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X (  .<_  \  _I  ) Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
114, 10sylan9bb 682 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  C
) )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
12113impb 1150 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  C )  ->  ( X  .<  Y  <->  ( X  .<_  Y  /\  X  =/= 
Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319   class class class wbr 4214    _I cid 4495   ` cfv 5456   lecple 13538   ltcplt 14400
This theorem is referenced by:  pltle  14420  pltne  14421  pleval2i  14423  pltnle  14425  pltval3  14426  plttr  14429  latnlemlt  14515  latnle  14516  ipolt  14587  ofldaddlt  24243  ofldlt1  24245  opltn0  29990  cvrval2  30074  cvrnbtwn2  30075  cvrnbtwn3  30076  cvrle  30078  cvrnbtwn4  30079  cvrne  30081  atlltn0  30106  hlrelat5N  30200  llnle  30317  lplnle  30339  llncvrlpln2  30356  lplncvrlvol2  30414  lhp2lt  30800  lautlt  30890
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-plt 14417
  Copyright terms: Public domain W3C validator