Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plusffval Structured version   Unicode version

Theorem plusffval 14694
 Description: The group addition operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
plusffval.1
plusffval.2
plusffval.3
Assertion
Ref Expression
plusffval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem plusffval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plusffval.3 . 2
2 fveq2 5720 . . . . . 6
3 plusffval.1 . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2485 . . . . 5
5 fveq2 5720 . . . . . . 7
6 plusffval.2 . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2485 . . . . . 6
87oveqd 6090 . . . . 5
94, 4, 8mpt2eq123dv 6128 . . . 4
10 df-plusf 14683 . . . 4
11 df-ov 6076 . . . . . . . 8
12 fvrn0 5745 . . . . . . . 8
1311, 12eqeltri 2505 . . . . . . 7
1413rgen2w 2766 . . . . . 6
15 eqid 2435 . . . . . . 7
1615fmpt2 6410 . . . . . 6
1714, 16mpbi 200 . . . . 5
18 fvex 5734 . . . . . . 7
193, 18eqeltri 2505 . . . . . 6
2019, 19xpex 4982 . . . . 5
21 fvex 5734 . . . . . . . 8
226, 21eqeltri 2505 . . . . . . 7
2322rnex 5125 . . . . . 6
24 p0ex 4378 . . . . . 6
2523, 24unex 4699 . . . . 5
26 fex2 5595 . . . . 5
2717, 20, 25, 26mp3an 1279 . . . 4
289, 10, 27fvmpt 5798 . . 3
29 fvprc 5714 . . . . 5
30 mpt20 6419 . . . . 5
3129, 30syl6eqr 2485 . . . 4
32 fvprc 5714 . . . . . 6
333, 32syl5eq 2479 . . . . 5
34 mpt2eq12 6126 . . . . 5
3533, 33, 34syl2anc 643 . . . 4
3631, 35eqtr4d 2470 . . 3
3728, 36pm2.61i 158 . 2
381, 37eqtri 2455 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cvv 2948   cun 3310  c0 3620  csn 3806  cop 3809   cxp 4868   crn 4871  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cbs 13461   cplusg 13521  cplusf 14679 This theorem is referenced by:  plusfval  14695  plusfeq  14696  plusffn  14697  mndplusf  14698  rlmscaf  16271  istgp2  18113  oppgtmd  18119  submtmd  18126  prdstmdd  18145  ressplusf  24175 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-plusf 14683
 Copyright terms: Public domain W3C validator