MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply0 Structured version   Unicode version

Theorem ply0 20119
Description: The zero function is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ply0  |-  ( S 
C_  CC  ->  0 p  e.  (Poly `  S
) )

Proof of Theorem ply0
StepHypRef Expression
1 df-0p 19554 . . 3  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
2 id 20 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  S  C_  CC )
3 0cn 9076 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
43a1i 11 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  CC  ->  0  e.  CC )
54snssd 3935 . . . . 5  |-  ( S 
C_  CC  ->  { 0 }  C_  CC )
62, 5unssd 3515 . . . 4  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )
7 ssun2 3503 . . . . 5  |-  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } )
8 c0ex 9077 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
98snss 3918 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } ) )
107, 9mpbir 201 . . . 4  |-  0  e.  ( S  u.  {
0 } )
11 plyconst 20117 . . . 4  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  0  e.  ( S  u.  { 0 } ) )  -> 
( CC  X.  {
0 } )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
126, 10, 11sylancl 644 . . 3  |-  ( S 
C_  CC  ->  ( CC 
X.  { 0 } )  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
131, 12syl5eqel 2519 . 2  |-  ( S 
C_  CC  ->  0 p  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
14 plyun0 20108 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
1513, 14syl6eleq 2525 1  |-  ( S 
C_  CC  ->  0 p  e.  (Poly `  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806    X. cxp 4868   ` cfv 5446   CCcc 8980   0cc0 8982   0 pc0p 19553  Polycply 20095
This theorem is referenced by:  coe0  20166  plydivlem3  20204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-0p 19554  df-ply 20099
  Copyright terms: Public domain W3C validator