MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1ascl Structured version   Unicode version

Theorem ply1ascl 16682
Description: The univariate polynomial ring inherits the multivariate ring's scalar function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1ascl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1ascl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
ply1ascl  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )

Proof of Theorem ply1ascl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1ascl.a . 2  |-  A  =  (algSc `  P )
2 eqid 2442 . . . 4  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
3 eqid 2442 . . . 4  |-  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )
4 ply1ascl.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
54ply1sca 16678 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
65fveq2d 5761 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
7 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
8 1on 6760 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  _V  ->  1o  e.  On )
10 id 21 . . . . . 6  |-  ( R  e.  _V  ->  R  e.  _V )
117, 9, 10mplsca 16539 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  R  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1211fveq2d 5761 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  ( 1o mPoly  R )
) ) )
13 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
144, 7, 13ply1vsca 16651 . . . . . 6  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  ( 1o mPoly  R ) )
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  ( .s `  P )  =  ( .s `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1615proplem3 13947 . . . 4  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  _V )
)  ->  ( x
( .s `  P
) y )  =  ( x ( .s
`  ( 1o mPoly  R
) ) y ) )
17 eqid 2442 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
187, 4, 17ply1mpl1 16681 . . . . 5  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  ( 1o mPoly  R ) )
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  P )  =  ( 1r `  ( 1o mPoly  R ) ) )
20 fvex 5771 . . . . 5  |-  ( 1r
`  P )  e. 
_V
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  P )  e. 
_V )
222, 3, 6, 12, 16, 19, 21asclpropd 16435 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  (algSc `  P )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R )
) )
23 fvprc 5751 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  R )  =  (/) )
244, 23syl5eq 2486 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  P  =  (/) )
25 reldmmpl 16522 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPoly
2625ovprc2 6139 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1o mPoly  R )  =  (/) )
2724, 26eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  P  =  ( 1o mPoly  R
) )
2827fveq2d 5761 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (algSc `  P )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R )
) )
2922, 28pm2.61i 159 . 2  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R )
)
301, 29eqtri 2462 1  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   _Vcvv 2962   (/)c0 3613   Oncon0 4610   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1oc1o 6746   Basecbs 13500  Scalarcsca 13563   .scvsca 13564   1rcur 15693  algSccascl 16402   mPoly cmpl 16439  Poly1cpl1 16602
This theorem is referenced by:  subrg1ascl  16683  subrg1asclcl  16684  evl1sca  19981  pf1ind  20006  deg1le0  20065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-0g 13758  df-mgp 15680  df-ur 15696  df-ascl 16405  df-psr 16448  df-mpl 16450  df-opsr 16456  df-psr1 16607  df-ply1 16609
  Copyright terms: Public domain W3C validator