MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1ascl Unicode version

Theorem ply1ascl 16434
Description: The univariate polynomial ring inherits the multivariate ring's scalar function. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by Fan Zheng, 26-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1ascl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1ascl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
ply1ascl  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )

Proof of Theorem ply1ascl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1ascl.a . 2  |-  A  =  (algSc `  P )
2 eqid 2358 . . . 4  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
3 eqid 2358 . . . 4  |-  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )
4 ply1ascl.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
54ply1sca 16430 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
65fveq2d 5612 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  P ) ) )
7 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
8 1on 6573 . . . . . . 7  |-  1o  e.  On
98a1i 10 . . . . . 6  |-  ( R  e.  _V  ->  1o  e.  On )
10 id 19 . . . . . 6  |-  ( R  e.  _V  ->  R  e.  _V )
117, 9, 10mplsca 16288 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  R  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1211fveq2d 5612 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( Base `  R )  =  ( Base `  (Scalar `  ( 1o mPoly  R )
) ) )
13 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
144, 7, 13ply1vsca 16403 . . . . . 6  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  ( 1o mPoly  R ) )
1514a1i 10 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  ( .s `  P )  =  ( .s `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1615proplem3 13692 . . . 4  |-  ( ( R  e.  _V  /\  ( x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  _V )
)  ->  ( x
( .s `  P
) y )  =  ( x ( .s
`  ( 1o mPoly  R
) ) y ) )
17 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
187, 4, 17ply1mpl1 16433 . . . . 5  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  ( 1o mPoly  R ) )
1918a1i 10 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  P )  =  ( 1r `  ( 1o mPoly  R ) ) )
20 fvex 5622 . . . . 5  |-  ( 1r
`  P )  e. 
_V
2120a1i 10 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  ( 1r `  P )  e. 
_V )
222, 3, 6, 12, 16, 19, 21asclpropd 16184 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  (algSc `  P )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R )
) )
23 fvprc 5602 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  R )  =  (/) )
244, 23syl5eq 2402 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  P  =  (/) )
25 reldmmpl 16271 . . . . . 6  |-  Rel  dom mPoly
2625ovprc2 5974 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( 1o mPoly  R )  =  (/) )
2724, 26eqtr4d 2393 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  P  =  ( 1o mPoly  R
) )
2827fveq2d 5612 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (algSc `  P )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R )
) )
2922, 28pm2.61i 156 . 2  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R )
)
301, 29eqtri 2378 1  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   (/)c0 3531   Oncon0 4474   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   1oc1o 6559   Basecbs 13245  Scalarcsca 13308   .scvsca 13309   1rcur 15438  algSccascl 16151   mPoly cmpl 16188  Poly1cpl1 16351
This theorem is referenced by:  subrg1ascl  16435  subrg1asclcl  16436  evl1sca  19517  pf1ind  19542  deg1le0  19601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-0g 13503  df-mgp 15425  df-ur 15441  df-ascl 16154  df-psr 16197  df-mpl 16199  df-opsr 16205  df-psr1 16356  df-ply1 16358
  Copyright terms: Public domain W3C validator