MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1assa Structured version   Unicode version

Theorem ply1assa 16589
Description: The ring of univariate polynomials is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1assa  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )

Proof of Theorem ply1assa
StepHypRef Expression
1 crngrng 15666 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 ply1val.1 . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
4 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
52, 3, 4ply1subrg 16587 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
72, 3, 4ply1lss 16586 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (
LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
81, 7syl 16 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  e.  (
LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
93psr1assa 16578 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  (PwSer1 `  R
)  e. AssAlg )
10 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )
1110subrg1cl 15868 . . . 4  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R
) )  ->  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )  e.  ( Base `  P
) )
126, 11syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )  e.  ( Base `  P
) )
13 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )
1413subrgss 15861 . . . 4  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R
) )  ->  ( Base `  P )  C_  ( Base `  (PwSer1 `  R
) ) )
156, 14syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  C_  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )
162, 3ply1val 16584 . . . . 5  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
172, 3, 4ply1bas 16585 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
1817oveq2i 6084 . . . . 5  |-  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  P
) )  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
1916, 18eqtr4i 2458 . . . 4  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  P ) )
20 eqid 2435 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )
2119, 20, 13, 10issubassa 16375 . . 3  |-  ( ( (PwSer1 `  R )  e. AssAlg  /\  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( Base `  P )  C_  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )  ->  ( P  e. AssAlg  <-> 
( ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) )  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R
) ) ) ) )
229, 12, 15, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( P  e. AssAlg  <-> 
( ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) )  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R
) ) ) ) )
236, 8, 22mpbir2and 889 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   1rcur 15654  SubRingcsubrg 15856   LSubSpclss 16000  AssAlgcasa 16361   mPoly cmpl 16400  PwSer1cps1 16561  Poly1cpl1 16563
This theorem is referenced by:  evl1vsd  19949  pf1subrg  19960  fta1blem  20083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-assa 16364  df-psr 16409  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-ply1 16570
  Copyright terms: Public domain W3C validator