MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1assa Unicode version

Theorem ply1assa 16524
Description: The ring of univariate polynomials is an associative algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1assa  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )

Proof of Theorem ply1assa
StepHypRef Expression
1 crngrng 15601 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
2 ply1val.1 . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 eqid 2387 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
4 eqid 2387 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
52, 3, 4ply1subrg 16522 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
61, 5syl 16 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
72, 3, 4ply1lss 16521 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (
LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
81, 7syl 16 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  e.  (
LSubSp `  (PwSer1 `  R ) ) )
93psr1assa 16513 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  (PwSer1 `  R
)  e. AssAlg )
10 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )
1110subrg1cl 15803 . . . 4  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R
) )  ->  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )  e.  ( Base `  P
) )
126, 11syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )  e.  ( Base `  P
) )
13 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( Base `  (PwSer1 `  R ) )
1413subrgss 15796 . . . 4  |-  ( (
Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R
) )  ->  ( Base `  P )  C_  ( Base `  (PwSer1 `  R
) ) )
156, 14syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  C_  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )
162, 3ply1val 16519 . . . . 5  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
172, 3, 4ply1bas 16520 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
1817oveq2i 6031 . . . . 5  |-  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  P
) )  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
1916, 18eqtr4i 2410 . . . 4  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  P ) )
20 eqid 2387 . . . 4  |-  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R ) )
2119, 20, 13, 10issubassa 16310 . . 3  |-  ( ( (PwSer1 `  R )  e. AssAlg  /\  ( 1r `  (PwSer1 `  R ) )  e.  ( Base `  P
)  /\  ( Base `  P )  C_  ( Base `  (PwSer1 `  R ) ) )  ->  ( P  e. AssAlg  <-> 
( ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) )  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R
) ) ) ) )
229, 12, 15, 21syl3anc 1184 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( P  e. AssAlg  <-> 
( ( Base `  P
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) )  /\  ( Base `  P )  e.  ( LSubSp `  (PwSer1 `  R
) ) ) ) )
236, 8, 22mpbir2and 889 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e. AssAlg )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3263   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   1oc1o 6653   Basecbs 13396   ↾s cress 13397   Ringcrg 15587   CRingccrg 15588   1rcur 15589  SubRingcsubrg 15791   LSubSpclss 15935  AssAlgcasa 16296   mPoly cmpl 16335  PwSer1cps1 16496  Poly1cpl1 16498
This theorem is referenced by:  evl1vsd  19824  pf1subrg  19835  fta1blem  19958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-hash 11546  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-ghm 14931  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-subrg 15793  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-assa 16299  df-psr 16344  df-mpl 16346  df-opsr 16352  df-psr1 16503  df-ply1 16505
  Copyright terms: Public domain W3C validator