MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1bas Unicode version

Theorem ply1bas 16274
Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1val.2  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
ply1bas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1bas  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )

Proof of Theorem ply1bas
StepHypRef Expression
1 ply1bas.u . 2  |-  U  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
5 ply1val.2 . . . . 5  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
6 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
75, 6, 3psr1bas2 16269 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  R ) )
82, 3, 4, 7mplbasss 16177 . . 3  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  C_  ( Base `  S )
9 ply1val.1 . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
109, 5ply1val 16273 . . . 4  |-  P  =  ( Ss  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1110, 6ressbas2 13199 . . 3  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  C_  ( Base `  S )  -> 
( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (
Base `  P )
)
128, 11ax-mp 8 . 2  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  P )
131, 12eqtr4i 2306 1  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   Basecbs 13148   mPwSer cmps 16087   mPoly cmpl 16089  PwSer1cps1 16250  Poly1cpl1 16252
This theorem is referenced by:  ply1lss  16275  ply1subrg  16276  ply1crng  16277  ply1assa  16278  ply1basf  16283  ply1bascl2  16285  vr1cl  16294  ressply1bas2  16306  ressply1add  16308  ressply1mul  16309  ressply1vsca  16310  subrgply1  16311  ply1baspropd  16321  ply1rng  16326  ply1lmod  16330  ply1mpl0  16333  ply1mpl1  16334  subrg1asclcl  16337  subrgvr1cl  16339  coe1add  16341  coe1tm  16349  ply1coe  16368  evl1rhm  19412  evl1sca  19413  evl1var  19415  mpfpf1  19434  pf1mpf  19435  deg1xrf  19467  deg1cl  19469  deg1nn0cl  19474  deg1ldg  19478  deg1leb  19481  deg1val  19482  deg1vscale  19490  deg1vsca  19491  deg1mulle2  19495  deg1le0  19497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-ple 13228  df-psr 16098  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259
  Copyright terms: Public domain W3C validator