MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1bas Unicode version

Theorem ply1bas 16520
Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1val.2  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
ply1bas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1bas  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )

Proof of Theorem ply1bas
StepHypRef Expression
1 ply1bas.u . 2  |-  U  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2387 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
3 eqid 2387 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2387 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
5 ply1val.2 . . . . 5  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
6 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
75, 6, 3psr1bas2 16515 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  R ) )
82, 3, 4, 7mplbasss 16423 . . 3  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  C_  ( Base `  S )
9 ply1val.1 . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
109, 5ply1val 16519 . . . 4  |-  P  =  ( Ss  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1110, 6ressbas2 13447 . . 3  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  C_  ( Base `  S )  -> 
( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (
Base `  P )
)
128, 11ax-mp 8 . 2  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  P )
131, 12eqtr4i 2410 1  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    C_ wss 3263   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   1oc1o 6653   Basecbs 13396   mPwSer cmps 16333   mPoly cmpl 16335  PwSer1cps1 16496  Poly1cpl1 16498
This theorem is referenced by:  ply1lss  16521  ply1subrg  16522  ply1crng  16523  ply1assa  16524  ply1basf  16527  ply1bascl2  16529  vr1cl  16538  ressply1bas2  16549  ressply1add  16551  ressply1mul  16552  ressply1vsca  16553  subrgply1  16554  ply1baspropd  16564  ply1rng  16569  ply1lmod  16573  ply1mpl0  16576  ply1mpl1  16577  subrg1asclcl  16580  subrgvr1cl  16582  coe1add  16584  coe1tm  16592  ply1coe  16611  evl1rhm  19816  evl1sca  19817  evl1var  19819  mpfpf1  19838  pf1mpf  19839  deg1xrf  19871  deg1cl  19873  deg1nn0cl  19878  deg1ldg  19882  deg1leb  19885  deg1val  19886  deg1vscale  19894  deg1vsca  19895  deg1mulle2  19899  deg1le0  19901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-ple 13476  df-psr 16344  df-mpl 16346  df-opsr 16352  df-psr1 16503  df-ply1 16505
  Copyright terms: Public domain W3C validator