MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1bas Unicode version

Theorem ply1bas 16290
Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1val.2  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
ply1bas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1bas  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )

Proof of Theorem ply1bas
StepHypRef Expression
1 ply1bas.u . 2  |-  U  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
5 ply1val.2 . . . . 5  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
6 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
75, 6, 3psr1bas2 16285 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  R ) )
82, 3, 4, 7mplbasss 16193 . . 3  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  C_  ( Base `  S )
9 ply1val.1 . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
109, 5ply1val 16289 . . . 4  |-  P  =  ( Ss  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1110, 6ressbas2 13215 . . 3  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  C_  ( Base `  S )  -> 
( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (
Base `  P )
)
128, 11ax-mp 8 . 2  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  P )
131, 12eqtr4i 2319 1  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   Basecbs 13164   mPwSer cmps 16103   mPoly cmpl 16105  PwSer1cps1 16266  Poly1cpl1 16268
This theorem is referenced by:  ply1lss  16291  ply1subrg  16292  ply1crng  16293  ply1assa  16294  ply1basf  16299  ply1bascl2  16301  vr1cl  16310  ressply1bas2  16322  ressply1add  16324  ressply1mul  16325  ressply1vsca  16326  subrgply1  16327  ply1baspropd  16337  ply1rng  16342  ply1lmod  16346  ply1mpl0  16349  ply1mpl1  16350  subrg1asclcl  16353  subrgvr1cl  16355  coe1add  16357  coe1tm  16365  ply1coe  16384  evl1rhm  19428  evl1sca  19429  evl1var  19431  mpfpf1  19450  pf1mpf  19451  deg1xrf  19483  deg1cl  19485  deg1nn0cl  19490  deg1ldg  19494  deg1leb  19497  deg1val  19498  deg1vscale  19506  deg1vsca  19507  deg1mulle2  19511  deg1le0  19513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-ple 13244  df-psr 16114  df-mpl 16116  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-ply1 16275
  Copyright terms: Public domain W3C validator