MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1bas Structured version   Unicode version

Theorem ply1bas 16585
Description: The value of the base set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1val.2  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
ply1bas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1bas  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )

Proof of Theorem ply1bas
StepHypRef Expression
1 ply1bas.u . 2  |-  U  =  ( Base `  P
)
2 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
5 ply1val.2 . . . . 5  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
6 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
75, 6, 3psr1bas2 16580 . . . 4  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  R ) )
82, 3, 4, 7mplbasss 16488 . . 3  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  C_  ( Base `  S )
9 ply1val.1 . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
109, 5ply1val 16584 . . . 4  |-  P  =  ( Ss  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
1110, 6ressbas2 13512 . . 3  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  C_  ( Base `  S )  -> 
( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (
Base `  P )
)
128, 11ax-mp 8 . 2  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  P )
131, 12eqtr4i 2458 1  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709   Basecbs 13461   mPwSer cmps 16398   mPoly cmpl 16400  PwSer1cps1 16561  Poly1cpl1 16563
This theorem is referenced by:  ply1lss  16586  ply1subrg  16587  ply1crng  16588  ply1assa  16589  ply1basf  16592  ply1bascl2  16594  vr1cl  16603  ressply1bas2  16614  ressply1add  16616  ressply1mul  16617  ressply1vsca  16618  subrgply1  16619  ply1baspropd  16629  ply1rng  16634  ply1lmod  16638  ply1mpl0  16641  ply1mpl1  16642  subrg1asclcl  16645  subrgvr1cl  16647  coe1add  16649  coe1tm  16657  ply1coe  16676  evl1rhm  19941  evl1sca  19942  evl1var  19944  mpfpf1  19963  pf1mpf  19964  deg1xrf  19996  deg1cl  19998  deg1nn0cl  20003  deg1ldg  20007  deg1leb  20010  deg1val  20011  deg1vscale  20019  deg1vsca  20020  deg1mulle2  20024  deg1le0  20026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-ple 13541  df-psr 16409  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-ply1 16570
  Copyright terms: Public domain W3C validator