Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1coe Structured version   Unicode version

Theorem ply1coe 16676
 Description: Decompose a univariate polynomial as a sum of powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1coe.p Poly1
ply1coe.x var1
ply1coe.b
ply1coe.n
ply1coe.m mulGrp
ply1coe.e .g
ply1coe.a coe1
ply1coe.r
Assertion
Ref Expression
ply1coe g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ply1coe
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . 3 mPoly mPoly
2 psr1baslem 16575 . . 3
3 eqid 2435 . . 3
4 eqid 2435 . . 3
5 1onn 6874 . . . 4
65a1i 11 . . 3
7 ply1coe.p . . . 4 Poly1
8 eqid 2435 . . . 4 PwSer1 PwSer1
9 ply1coe.b . . . 4
107, 8, 9ply1bas 16585 . . 3 mPoly
11 ply1coe.n . . . 4
127, 1, 11ply1vsca 16612 . . 3 mPoly
13 crngrng 15666 . . . 4
15 simpr 448 . . 3
161, 2, 3, 4, 6, 10, 12, 14, 15mplcoe1 16520 . 2 mPoly g
17 ply1coe.a . . . . . . 7 coe1
1817fvcoe1 16597 . . . . . 6
1918adantll 695 . . . . 5
205a1i 11 . . . . . . 7
21 eqid 2435 . . . . . . 7 mulGrp mPoly mulGrp mPoly
22 eqid 2435 . . . . . . 7 .gmulGrp mPoly .gmulGrp mPoly
23 eqid 2435 . . . . . . 7 mVar mVar
24 simpll 731 . . . . . . 7
25 simpr 448 . . . . . . 7
261, 2, 3, 4, 20, 21, 22, 23, 24, 25mplcoe2 16522 . . . . . 6 mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar
27 df1o2 6728 . . . . . . . . 9
28 mpteq1 4281 . . . . . . . . 9 .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly mVar
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . 8 .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly mVar
3029oveq2i 6084 . . . . . . 7 mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar
311mplcrng 16508 . . . . . . . . . . . . 13 mPoly
325, 31mpan 652 . . . . . . . . . . . 12 mPoly
3332adantr 452 . . . . . . . . . . 11 mPoly
3421crngmgp 15664 . . . . . . . . . . 11 mPoly mulGrp mPoly CMnd
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . 10 mulGrp mPoly CMnd
3635adantr 452 . . . . . . . . 9 mulGrp mPoly CMnd
37 cmnmnd 15419 . . . . . . . . 9 mulGrp mPoly CMnd mulGrp mPoly
3836, 37syl 16 . . . . . . . 8 mulGrp mPoly
39 0ex 4331 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
41 ply1coe.e . . . . . . . . . . . 12 .g
4221, 10mgpbas 15646 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrp mPoly
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp mPoly
44 ply1coe.m . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp
4544, 9mgpbas 15646 . . . . . . . . . . . . 13
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
47 ssv 3360 . . . . . . . . . . . . 13
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
49 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrp mPoly
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp mPoly
51 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
527, 1, 51ply1mulr 16613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mPoly
5321, 52mgpplusg 15644 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrp mPoly
5444, 51mgpplusg 15644 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54eqtr3i 2457 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp mPoly
5655oveqi 6086 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrp mPoly
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp mPoly
5822, 41, 43, 46, 48, 50, 57mulgpropd 14915 . . . . . . . . . . 11 .gmulGrp mPoly
5958oveqd 6090 . . . . . . . . . 10 .gmulGrp mPoly
6059adantr 452 . . . . . . . . 9 .gmulGrp mPoly
617ply1crng 16588 . . . . . . . . . . . . 13
6261adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
63 crngrng 15666 . . . . . . . . . . . 12
6444rngmgp 15662 . . . . . . . . . . . 12
6562, 63, 643syl 19 . . . . . . . . . . 11
6665adantr 452 . . . . . . . . . 10
67 elmapi 7030 . . . . . . . . . . . 12
68 0lt1o 6740 . . . . . . . . . . . 12
69 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . . 12
7067, 68, 69sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
7170adantl 453 . . . . . . . . . 10
72 ply1coe.x . . . . . . . . . . . . 13 var1
7372, 7, 9vr1cl 16603 . . . . . . . . . . . 12
7414, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11
7574adantr 452 . . . . . . . . . 10
7645, 41mulgnn0cl 14898 . . . . . . . . . 10
7766, 71, 75, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
7860, 77eqeltrd 2509 . . . . . . . 8 .gmulGrp mPoly
79 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
80 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11 mVar mVar
8172vr1val 16582 . . . . . . . . . . 11 mVar
8280, 81syl6eqr 2485 . . . . . . . . . 10 mVar
8379, 82oveq12d 6091 . . . . . . . . 9 .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly
8442, 83gsumsn 15535 . . . . . . . 8 mulGrp mPoly .gmulGrp mPoly mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly
8538, 40, 78, 84syl3anc 1184 . . . . . . 7 mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly
8630, 85syl5eq 2479 . . . . . 6 mulGrp mPoly g .gmulGrp mPoly mVar .gmulGrp mPoly
8726, 86, 603eqtrd 2471 . . . . 5
8819, 87oveq12d 6091 . . . 4
8988mpteq2dva 4287 . . 3
9089oveq2d 6089 . 2 mPoly g mPoly g
91 nn0ex 10219 . . . . . 6
9291mptex 5958 . . . . 5
9392a1i 11 . . . 4
94 fvex 5734 . . . . . 6 Poly1
957, 94eqeltri 2505 . . . . 5
9695a1i 11 . . . 4
97 ovex 6098 . . . . 5 mPoly
9897a1i 11 . . . 4 mPoly
999, 10eqtr3i 2457 . . . . 5 mPoly
10099a1i 11 . . . 4 mPoly
101 eqid 2435 . . . . . 6
1027, 1, 101ply1plusg 16611 . . . . 5 mPoly
103102a1i 11 . . . 4 mPoly
10493, 96, 98, 100, 103gsumpropd 14768 . . 3 g mPoly g
105 eqid 2435 . . . 4 mPoly mPoly
1061mpllmod 16506 . . . . . 6 mPoly
1076, 14, 106syl2anc 643 . . . . 5 mPoly
108 lmodcmn 15984 . . . . 5 mPoly mPoly CMnd
109107, 108syl 16 . . . 4 mPoly CMnd
11091a1i 11 . . . 4
111107adantr 452 . . . . . 6 mPoly
112 eqid 2435 . . . . . . . . 9
11317, 9, 7, 112coe1f 16601 . . . . . . . 8
114113adantl 453 . . . . . . 7
115114ffvelrnda 5862 . . . . . 6
11665adantr 452 . . . . . . 7
117 simpr 448 . . . . . . 7
11874adantr 452 . . . . . . 7
11945, 41mulgnn0cl 14898 . . . . . . 7
120116, 117, 118, 119syl3anc 1184 . . . . . 6
121 ply1coe.r . . . . . . . 8
122 simpl 444 . . . . . . . . 9
123 simpr 448 . . . . . . . . 9
1241, 122, 123mplsca 16500 . . . . . . . 8 Scalar mPoly
1255, 121, 124mp2an 654 . . . . . . 7 Scalar mPoly
12610, 125, 12, 112lmodvscl 15959 . . . . . 6 mPoly
127111, 115, 120, 126syl3anc 1184 . . . . 5
128 eqid 2435 . . . . 5
129127, 128fmptd 5885 . . . 4
13017, 9, 7, 3coe1sfi 16602 . . . . . 6
131130adantl 453 . . . . 5
132114feqmptd 5771 . . . . . . . . 9
133132cnveqd 5040 . . . . . . . 8
134133imaeq1d 5194 . . . . . . 7
135 eqimss2 3393 . . . . . . 7
136134, 135syl 16 . . . . . 6
13710, 125, 12, 3, 105lmod0vs 15975 . . . . . . 7 mPoly mPoly
138107, 137sylan 458 . . . . . 6 mPoly
139 fvex 5734 . . . . . . 7
140139a1i 11 . . . . . 6
141136, 138, 140, 120suppssov1 6294 . . . . 5 mPoly
142 ssfi 7321 . . . . 5 mPoly mPoly
143131, 141, 142syl2anc 643 . . . 4 mPoly
144 eqid 2435 . . . . . 6
14527, 91, 39, 144mapsnf1o2 7053 . . . . 5
146145a1i 11 . . . 4
14710, 105, 109, 110, 129, 143, 146gsumf1o 15514 . . 3 mPoly g mPoly g
148 eqidd 2436 . . . . 5
149 eqidd 2436 . . . . 5
150 fveq2 5720 . . . . . 6
151 oveq1 6080 . . . . . 6
152150, 151oveq12d 6091 . . . . 5
15371, 148, 149, 152fmptco 5893 . . . 4
154153oveq2d 6089 . . 3 mPoly g mPoly g
155104, 147, 1543eqtrrd 2472 . 2 mPoly g g
15616, 90, 1553eqtrd 2471 1 g
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cdif 3309   wss 3312  c0 3620  cif 3731  csn 3806   cmpt 4258  com 4837  ccnv 4869  cima 4873   ccom 4874  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1o 6709   cmap 7010  cfn 7101  cn0 10213  cbs 13461   cplusg 13521  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  c0g 13715   g cgsu 13716  cmnd 14676  .gcmg 14681  CMndccmn 15404  mulGrpcmgp 15640  crg 15652  ccrg 15653  cur 15654  clmod 15942   mVar cmvr 16399   mPoly cmpl 16400  PwSer1cps1 16561  var1cv1 16562  Poly1cpl1 16563  coe1cco1 16566 This theorem is referenced by:  plypf1  20123 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-vr1 16569  df-ply1 16570  df-coe1 16573
 Copyright terms: Public domain W3C validator