MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1crng Unicode version

Theorem ply1crng 16487
Description: The ring of univariate polynomials is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1crng  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)

Proof of Theorem ply1crng
StepHypRef Expression
1 eqid 2366 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
21psr1crng 16476 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  (PwSer1 `  R
)  e.  CRing )
3 ply1val.1 . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2366 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
53, 1, 4ply1bas 16484 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
6 crngrng 15561 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
73, 1, 4ply1subrg 16486 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
95, 8syl5eqelr 2451 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
103, 1ply1val 16483 . . 3  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
1110subrgcrng 15759 . 2  |-  ( ( (PwSer1 `  R )  e. 
CRing  /\  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R
) ) )  ->  P  e.  CRing )
122, 9, 11syl2anc 642 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1oc1o 6614   Basecbs 13356   Ringcrg 15547   CRingccrg 15548  SubRingcsubrg 15751   mPoly cmpl 16299  PwSer1cps1 16460  Poly1cpl1 16462
This theorem is referenced by:  ply1coe  16578  ply1idom  19725  fta1glem1  19766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-subrg 15753  df-psr 16308  df-mpl 16310  df-opsr 16316  df-psr1 16467  df-ply1 16469
  Copyright terms: Public domain W3C validator