MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1crng Structured version   Unicode version

Theorem ply1crng 16627
Description: The ring of univariate polynomials is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1crng  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)

Proof of Theorem ply1crng
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
21psr1crng 16616 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  (PwSer1 `  R
)  e.  CRing )
3 ply1val.1 . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2442 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
53, 1, 4ply1bas 16624 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
6 crngrng 15705 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
73, 1, 4ply1subrg 16626 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
95, 8syl5eqelr 2527 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
103, 1ply1val 16623 . . 3  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
1110subrgcrng 15903 . 2  |-  ( ( (PwSer1 `  R )  e. 
CRing  /\  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R
) ) )  ->  P  e.  CRing )
122, 9, 11syl2anc 644 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  P  e.  CRing
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1oc1o 6746   Basecbs 13500   Ringcrg 15691   CRingccrg 15692  SubRingcsubrg 15895   mPoly cmpl 16439  PwSer1cps1 16600  Poly1cpl1 16602
This theorem is referenced by:  ply1coe  16715  ply1idom  20078  fta1glem1  20119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-ofr 6335  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-mulg 14846  df-subg 14972  df-ghm 15035  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-ur 15696  df-subrg 15897  df-psr 16448  df-mpl 16450  df-opsr 16456  df-psr1 16607  df-ply1 16609
  Copyright terms: Public domain W3C validator