Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg Structured version   Unicode version

Theorem ply1divalg 20052
 Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials such that and the leading coefficient of is a unit, there are unique polynomials and such that the degree of is less than the degree of . (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p Poly1
ply1divalg.d deg1
ply1divalg.b
ply1divalg.m
ply1divalg.z
ply1divalg.t
ply1divalg.r1
ply1divalg.f
ply1divalg.g1
ply1divalg.g2
ply1divalg.g3 coe1
ply1divalg.u Unit
Assertion
Ref Expression
ply1divalg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ply1divalg
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.p . . 3 Poly1
2 ply1divalg.d . . 3 deg1
3 ply1divalg.b . . 3
4 ply1divalg.m . . 3
5 ply1divalg.z . . 3
6 ply1divalg.t . . 3
7 ply1divalg.r1 . . 3
8 ply1divalg.f . . 3
9 ply1divalg.g1 . . 3
10 ply1divalg.g2 . . 3
11 eqid 2435 . . 3
12 eqid 2435 . . 3
13 eqid 2435 . . 3
14 ply1divalg.g3 . . . 4 coe1
15 ply1divalg.u . . . . 5 Unit
16 eqid 2435 . . . . 5
1715, 16, 12rnginvcl 15773 . . . 4 coe1 coe1
187, 14, 17syl2anc 643 . . 3 coe1
1915, 16, 13, 11unitrinv 15775 . . . 4 coe1 coe1coe1
207, 14, 19syl2anc 643 . . 3 coe1coe1
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20ply1divex 20051 . 2
22 eqid 2435 . . . . . 6 RLReg RLReg
2322, 15unitrrg 16345 . . . . 5 RLReg
247, 23syl 16 . . . 4 RLReg
2524, 14sseldd 3341 . . 3 coe1 RLReg
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22ply1divmo 20050 . 2
27 reu5 2913 . 2
2821, 26, 27sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698  wreu 2699  wrmo 2700   wss 3312   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073   clt 9112  cbs 13461  cmulr 13522  c0g 13715  csg 14680  crg 15652  cur 15654  Unitcui 15736  cinvr 15768  RLRegcrlreg 16331  Poly1cpl1 16563  coe1cco1 16566   deg1 cdg1 19969 This theorem is referenced by:  ply1divalg2  20053 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-rlreg 16335  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-vr1 16569  df-ply1 16570  df-coe1 16573  df-cnfld 16696  df-mdeg 19970  df-deg1 19971
 Copyright terms: Public domain W3C validator