MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg Unicode version

Theorem ply1divalg 19539
Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials  F ,  G such that  G  =/=  0 and the leading coefficient of  G is a unit, there are unique polynomials  q and  r  =  F  -  ( G  x.  q ) such that the degree of  r is less than the degree of  G. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divalg.g3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )
ply1divalg.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1divalg  |-  ( ph  ->  E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    ph, q    B, q    D, q    F, q    G, q    .- , q    P, q    R, q    .xb , q    .0. , q
Allowed substitution hint:    U( q)

Proof of Theorem ply1divalg
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1divalg.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3 ply1divalg.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 ply1divalg.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  P )
5 ply1divalg.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
6 ply1divalg.t . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  P )
7 ply1divalg.r1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 ply1divalg.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
9 ply1divalg.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
10 ply1divalg.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
11 eqid 2296 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
12 eqid 2296 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
13 eqid 2296 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
14 ply1divalg.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )
15 ply1divalg.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
16 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
1715, 16, 12rnginvcl 15474 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )  ->  ( ( invr `  R ) `  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
187, 14, 17syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  R
) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) )  e.  (
Base `  R )
)
1915, 16, 13, 11unitrinv 15476 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )  ->  ( ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) ) ) )  =  ( 1r `  R
) )
207, 14, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20ply1divex 19538 . 2  |-  ( ph  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
22 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (RLReg `  R )  =  (RLReg `  R )
2322, 15unitrrg 16050 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  C_  (RLReg `  R ) )
247, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  (RLReg `  R
) )
2524, 14sseldd 3194 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  (RLReg `  R ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22ply1divmo 19537 . 2  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
27 reu5 2766 . 2  |-  ( E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( E. q  e.  B  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  E* q  e.  B ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
2821, 26, 27sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   E!wreu 2558   E*wrmo 2559    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    < clt 8883   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   -gcsg 14381   Ringcrg 15353   1rcur 15355  Unitcui 15437   invrcinvr 15469  RLRegcrlreg 16036  Poly1cpl1 16268  coe1cco1 16271   deg1 cdg1 19456
This theorem is referenced by:  ply1divalg2  19540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-rlreg 16040  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-vr1 16274  df-ply1 16275  df-coe1 16278  df-cnfld 16394  df-mdeg 19457  df-deg1 19458
  Copyright terms: Public domain W3C validator