MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg Structured version   Unicode version

Theorem ply1divalg 20052
Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials  F ,  G such that  G  =/=  0 and the leading coefficient of  G is a unit, there are unique polynomials  q and  r  =  F  -  ( G  x.  q ) such that the degree of  r is less than the degree of  G. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divalg.g3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )
ply1divalg.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1divalg  |-  ( ph  ->  E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    ph, q    B, q    D, q    F, q    G, q    .- , q    P, q    R, q    .xb , q    .0. , q
Allowed substitution hint:    U( q)

Proof of Theorem ply1divalg
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1divalg.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3 ply1divalg.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 ply1divalg.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  P )
5 ply1divalg.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
6 ply1divalg.t . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  P )
7 ply1divalg.r1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 ply1divalg.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
9 ply1divalg.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
10 ply1divalg.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
11 eqid 2435 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
12 eqid 2435 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
13 eqid 2435 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
14 ply1divalg.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )
15 ply1divalg.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
16 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
1715, 16, 12rnginvcl 15773 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )  ->  ( ( invr `  R ) `  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
187, 14, 17syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  R
) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) )  e.  (
Base `  R )
)
1915, 16, 13, 11unitrinv 15775 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )  ->  ( ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) ) ) )  =  ( 1r `  R
) )
207, 14, 19syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20ply1divex 20051 . 2  |-  ( ph  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
22 eqid 2435 . . . . . 6  |-  (RLReg `  R )  =  (RLReg `  R )
2322, 15unitrrg 16345 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  C_  (RLReg `  R ) )
247, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  (RLReg `  R
) )
2524, 14sseldd 3341 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  (RLReg `  R ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22ply1divmo 20050 . 2  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
27 reu5 2913 . 2  |-  ( E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( E. q  e.  B  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  E* q  e.  B ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
2821, 26, 27sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   E!wreu 2699   E*wrmo 2700    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    < clt 9112   Basecbs 13461   .rcmulr 13522   0gc0g 13715   -gcsg 14680   Ringcrg 15652   1rcur 15654  Unitcui 15736   invrcinvr 15768  RLRegcrlreg 16331  Poly1cpl1 16563  coe1cco1 16566   deg1 cdg1 19969
This theorem is referenced by:  ply1divalg2  20053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-rlreg 16335  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-vr1 16569  df-ply1 16570  df-coe1 16573  df-cnfld 16696  df-mdeg 19970  df-deg1 19971
  Copyright terms: Public domain W3C validator