MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg Unicode version

Theorem ply1divalg 19523
Description: The division algorithm for univariate polynomials over a ring. For polynomials  F ,  G such that  G  =/=  0 and the leading coefficient of  G is a unit, there are unique polynomials  q and  r  =  F  -  ( G  x.  q ) such that the degree of  r is less than the degree of  G. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divalg.g3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )
ply1divalg.u  |-  U  =  (Unit `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1divalg  |-  ( ph  ->  E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    ph, q    B, q    D, q    F, q    G, q    .- , q    P, q    R, q    .xb , q    .0. , q
Allowed substitution hint:    U( q)

Proof of Theorem ply1divalg
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1divalg.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3 ply1divalg.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
4 ply1divalg.m . . 3  |-  .-  =  ( -g `  P )
5 ply1divalg.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
6 ply1divalg.t . . 3  |-  .xb  =  ( .r `  P )
7 ply1divalg.r1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 ply1divalg.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
9 ply1divalg.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
10 ply1divalg.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
11 eqid 2283 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
12 eqid 2283 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
13 eqid 2283 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
14 ply1divalg.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )
15 ply1divalg.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  R )
16 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( invr `  R )  =  (
invr `  R )
1715, 16, 12rnginvcl 15458 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )  ->  ( ( invr `  R ) `  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) ) )  e.  (
Base `  R )
)
187, 14, 17syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  R
) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) )  e.  (
Base `  R )
)
1915, 16, 13, 11unitrinv 15460 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  U )  ->  ( ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) ( .r `  R ) ( (
invr `  R ) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) ) ) )  =  ( 1r `  R
) )
207, 14, 19syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) ) ( .r `  R ) ( ( invr `  R
) `  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
) ) )  =  ( 1r `  R
) )
211, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 20ply1divex 19522 . 2  |-  ( ph  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
22 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (RLReg `  R )  =  (RLReg `  R )
2322, 15unitrrg 16034 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  C_  (RLReg `  R ) )
247, 23syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  (RLReg `  R
) )
2524, 14sseldd 3181 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  (RLReg `  R ) )
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 22ply1divmo 19521 . 2  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
27 reu5 2753 . 2  |-  ( E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( E. q  e.  B  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  E* q  e.  B ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
2821, 26, 27sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  E! q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   E!wreu 2545   E*wrmo 2546    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    < clt 8867   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   -gcsg 14365   Ringcrg 15337   1rcur 15339  Unitcui 15421   invrcinvr 15453  RLRegcrlreg 16020  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255   deg1 cdg1 19440
This theorem is referenced by:  ply1divalg2  19524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-rlreg 16024  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442
  Copyright terms: Public domain W3C validator