Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1divalg2 Structured version   Unicode version

Theorem ply1divalg2 20066
 Description: Reverse the order of multiplication in ply1divalg 20065 via the opposite ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p Poly1
ply1divalg.d deg1
ply1divalg.b
ply1divalg.m
ply1divalg.z
ply1divalg.t
ply1divalg.r1
ply1divalg.f
ply1divalg.g1
ply1divalg.g2
ply1divalg.g3 coe1
ply1divalg.u Unit
Assertion
Ref Expression
ply1divalg2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ply1divalg2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3 Poly1oppr Poly1oppr
2 ply1divalg.d . . . 4 deg1
3 eqidd 2439 . . . . . 6
4 eqid 2438 . . . . . . . 8 oppr oppr
5 eqid 2438 . . . . . . . 8
64, 5opprbas 15739 . . . . . . 7 oppr
76a1i 11 . . . . . 6 oppr
8 eqid 2438 . . . . . . . . 9
94, 8oppradd 15740 . . . . . . . 8 oppr
109oveqi 6097 . . . . . . 7 oppr
1110a1i 11 . . . . . 6 oppr
123, 7, 11deg1propd 20014 . . . . 5 deg1 deg1 oppr
1312trud 1333 . . . 4 deg1 deg1 oppr
142, 13eqtri 2458 . . 3 deg1 oppr
15 ply1divalg.b . . . 4
16 ply1divalg.p . . . . . 6 Poly1
1716fveq2i 5734 . . . . 5 Poly1
183, 7, 11ply1baspropd 16642 . . . . . 6 Poly1 Poly1oppr
1918trud 1333 . . . . 5 Poly1 Poly1oppr
2017, 19eqtri 2458 . . . 4 Poly1oppr
2115, 20eqtri 2458 . . 3 Poly1oppr
22 ply1divalg.m . . . 4
2320a1i 11 . . . . . 6 Poly1oppr
2416fveq2i 5734 . . . . . . . 8 Poly1
253, 7, 11ply1plusgpropd 16643 . . . . . . . . 9 Poly1 Poly1oppr
2625trud 1333 . . . . . . . 8 Poly1 Poly1oppr
2724, 26eqtri 2458 . . . . . . 7 Poly1oppr
2827a1i 11 . . . . . 6 Poly1oppr
2923, 28grpsubpropd 14894 . . . . 5 Poly1oppr
3029trud 1333 . . . 4 Poly1oppr
3122, 30eqtri 2458 . . 3 Poly1oppr
32 ply1divalg.z . . . 4
3315a1i 11 . . . . . 6
3421a1i 11 . . . . . 6 Poly1oppr
3527oveqi 6097 . . . . . . 7 Poly1oppr
3635a1i 11 . . . . . 6 Poly1oppr
3733, 34, 36grpidpropd 14727 . . . . 5 Poly1oppr
3837trud 1333 . . . 4 Poly1oppr
3932, 38eqtri 2458 . . 3 Poly1oppr
40 eqid 2438 . . 3 Poly1oppr Poly1oppr
41 ply1divalg.r1 . . . 4
424opprrng 15741 . . . 4 oppr
4341, 42syl 16 . . 3 oppr
44 ply1divalg.f . . 3
45 ply1divalg.g1 . . 3
46 ply1divalg.g2 . . 3
47 ply1divalg.g3 . . 3 coe1
48 ply1divalg.u . . . 4 Unit
4948, 4opprunit 15771 . . 3 Unitoppr
501, 14, 21, 31, 39, 40, 43, 44, 45, 46, 47, 49ply1divalg 20065 . 2 Poly1oppr
5141adantr 453 . . . . . . . 8
5245adantr 453 . . . . . . . 8
53 simpr 449 . . . . . . . 8
54 ply1divalg.t . . . . . . . . 9
5516, 4, 1, 54, 40, 15ply1opprmul 16638 . . . . . . . 8 Poly1oppr
5651, 52, 53, 55syl3anc 1185 . . . . . . 7 Poly1oppr
5756eqcomd 2443 . . . . . 6 Poly1oppr
5857oveq2d 6100 . . . . 5 Poly1oppr
5958fveq2d 5735 . . . 4 Poly1oppr
6059breq1d 4225 . . 3 Poly1oppr
6160reubidva 2893 . 2 Poly1oppr
6250, 61mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wtru 1326   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wreu 2709   class class class wbr 4215  cfv 5457  (class class class)co 6084   clt 9125  cbs 13474   cplusg 13534  cmulr 13535  c0g 13728  csg 14693  crg 15665  opprcoppr 15732  Unitcui 15749  Poly1cpl1 16576  coe1cco1 16579   deg1 cdg1 19982 This theorem is referenced by:  q1peqb  20082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-rlreg 16348  df-psr 16422  df-mvr 16423  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-vr1 16582  df-ply1 16583  df-coe1 16586  df-cnfld 16709  df-mdeg 19983  df-deg1 19984
 Copyright terms: Public domain W3C validator