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Theorem ply1divex 19522
Description: Lemma for ply1divalg 19523: existence part. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divex.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
ply1divex.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1divex.u  |-  .x.  =  ( .r `  R )
ply1divex.i  |-  ( ph  ->  I  e.  K )
ply1divex.g3  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) )  .x.  I )  =  .1.  )
Assertion
Ref Expression
ply1divex  |-  ( ph  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    .0. , q    F, q    I, q    P, q    R, q    .- , q    B, q    .xb , q    D, q    G, q    ph, q    .x. , q
Allowed substitution hints:    .1. ( q)    K( q)

Proof of Theorem ply1divex
Dummy variables  d 
f  r  a  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( F  =  .0.  ->  ( D `  F )  =  ( D `  .0.  ) )
21breq1d 4033 . . . 4  |-  ( F  =  .0.  ->  (
( D `  F
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  <->  ( D `  .0.  )  <  (
( D `  G
)  +  d ) ) )
32rexbidv 2564 . . 3  |-  ( F  =  .0.  ->  ( E. d  e.  NN0  ( D `  F )  <  ( ( D `
 G )  +  d )  <->  E. d  e.  NN0  ( D `  .0.  )  <  ( ( D `  G )  +  d ) ) )
4 nnssnn0 9968 . . . . 5  |-  NN  C_  NN0
5 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
65adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  R  e. 
Ring )
7 ply1divalg.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
87adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  F  e.  B )
9 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  F  =/= 
.0.  )
10 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( deg1  `  R )
11 ply1divalg.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  (Poly1 `  R )
12 ply1divalg.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  P
)
1410, 11, 12, 13deg1nn0cl 19474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
156, 8, 9, 14syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  ( D `
 F )  e. 
NN0 )
1615nn0red 10019 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  ( D `
 F )  e.  RR )
17 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
18 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
1910, 11, 12, 13deg1nn0cl 19474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  G  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
205, 17, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  NN0 )
2120nn0red 10019 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR )
2221adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  ( D `
 G )  e.  RR )
2316, 22resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  ( ( D `  F )  -  ( D `  G ) )  e.  RR )
24 arch 9962 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  F
)  -  ( D `
 G ) )  e.  RR  ->  E. d  e.  NN  ( ( D `
 F )  -  ( D `  G ) )  <  d )
2523, 24syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  E. d  e.  NN  ( ( D `
 F )  -  ( D `  G ) )  <  d )
26 ssrexv 3238 . . . . 5  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. d  e.  NN  (
( D `  F
)  -  ( D `
 G ) )  <  d  ->  E. d  e.  NN0  ( ( D `
 F )  -  ( D `  G ) )  <  d ) )
274, 25, 26mpsyl 59 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  E. d  e.  NN0  ( ( D `
 F )  -  ( D `  G ) )  <  d )
2816adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  .0.  )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( D `  F )  e.  RR )
2921ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  .0.  )  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( D `  G )  e.  RR )
30 nn0re 9974 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN0  ->  d  e.  RR )
3130adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  .0.  )  /\  d  e.  NN0 )  ->  d  e.  RR )
3228, 29, 31ltsubadd2d 9370 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  .0.  )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( ( D `  F )  -  ( D `  G )
)  <  d  <->  ( D `  F )  <  (
( D `  G
)  +  d ) ) )
3332biimpd 198 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  F  =/=  .0.  )  /\  d  e.  NN0 )  ->  (
( ( D `  F )  -  ( D `  G )
)  <  d  ->  ( D `  F )  <  ( ( D `
 G )  +  d ) ) )
3433reximdva 2655 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  ( E. d  e.  NN0  (
( D `  F
)  -  ( D `
 G ) )  <  d  ->  E. d  e.  NN0  ( D `  F )  <  (
( D `  G
)  +  d ) ) )
3527, 34mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  F  =/=  .0.  )  ->  E. d  e.  NN0  ( D `  F )  <  (
( D `  G
)  +  d ) )
36 0nn0 9980 . . . 4  |-  0  e.  NN0
3710, 11, 12deg1z 19473 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( D `
 .0.  )  = 
-oo )
385, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  .0.  )  =  -oo )
39 0re 8838 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
40 readdcl 8820 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( D `  G )  +  0 )  e.  RR )
4121, 39, 40sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D `  G )  +  0 )  e.  RR )
42 mnflt 10464 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  G
)  +  0 )  e.  RR  ->  -oo  <  ( ( D `  G
)  +  0 ) )
4341, 42syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -oo  <  ( ( D `  G )  +  0 ) )
4438, 43eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  .0.  )  <  ( ( D `
 G )  +  0 ) )
45 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( d  =  0  ->  (
( D `  G
)  +  d )  =  ( ( D `
 G )  +  0 ) )
4645breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( d  =  0  ->  (
( D `  .0.  )  <  ( ( D `
 G )  +  d )  <->  ( D `  .0.  )  <  (
( D `  G
)  +  0 ) ) )
4746rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ( D `  .0.  )  <  ( ( D `  G )  +  0 ) )  ->  E. d  e.  NN0  ( D `  .0.  )  <  ( ( D `  G )  +  d ) )
4836, 44, 47sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  E. d  e.  NN0  ( D `  .0.  )  <  ( ( D `  G )  +  d ) )
493, 35, 48pm2.61ne 2521 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  NN0  ( D `  F )  <  ( ( D `
 G )  +  d ) )
507adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  F  e.  B )
51 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  0  ->  (
( D `  G
)  +  a )  =  ( ( D `
 G )  +  0 ) )
5251breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  0  ->  (
( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  a )  <->  ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  0 ) ) )
5352imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  a )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  0 )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
5453ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  a )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  0 )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
5554imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  a )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  0 )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) ) )
56 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( D `  G
)  +  a )  =  ( ( D `
 G )  +  d ) )
5756breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  d  ->  (
( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  a )  <->  ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  d ) ) )
5857imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  a )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
5958ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( a  =  d  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  a )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
6059imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( a  =  d  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  a )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) ) )
61 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  (
( D `  G
)  +  a )  =  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) )
6261breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  (
( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  a )  <->  ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) ) ) )
6362imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  a )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
6463ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  a )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
6564imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  a )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) ) )
6611ply1rng 16326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
675, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Ring )
6813, 12rng0cl 15362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  .0.  e.  B )
7069ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  0 ) )  ->  .0.  e.  B )
71 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .xb  =  ( .r `  P )
7213, 71, 12rngrz 15378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B )  ->  ( G  .xb  .0.  )  =  .0.  )
7367, 17, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G  .xb  .0.  )  =  .0.  )
7473oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( f  .-  ( G  .xb  .0.  ) )  =  ( f  .-  .0.  ) )
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
f  .-  ( G  .xb 
.0.  ) )  =  ( f  .-  .0.  ) )
76 rnggrp 15346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
7767, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Grp )
78 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .-  =  ( -g `  P )
7913, 12, 78grpsubid1 14551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  f  e.  B )  ->  ( f  .-  .0.  )  =  f )
8077, 79sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
f  .-  .0.  )  =  f )
8175, 80eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  f  =  ( f  .-  ( G  .xb  .0.  )
) )
8281fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( D `  f )  =  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  .0.  ) ) ) )
8320nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  CC )
8483addid1d 9012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( D `  G )  +  0 )  =  ( D `
 G ) )
8584adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  G
)  +  0 )  =  ( D `  G ) )
8682, 85breq12d 4036 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  0 )  <->  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  .0.  ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8786biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  0 ) )  ->  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  .0.  ) ) )  < 
( D `  G
) )
88 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  .0.  ->  ( G  .xb  q )  =  ( G  .xb  .0.  ) )
8988oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  .0.  ->  (
f  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( f  .-  ( G  .xb  .0.  ) ) )
9089fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  .0.  ->  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q
) ) )  =  ( D `  (
f  .-  ( G  .xb 
.0.  ) ) ) )
9190breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  .0.  ->  (
( D `  (
f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  .0.  ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
9291rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( (  .0.  e.  B  /\  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  .0.  ) ) )  < 
( D `  G
) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) )
9370, 87, 92syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f  e.  B )  /\  ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  0 ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) )
9493ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  0 )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
9594ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  0 )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
96 nn0addcl 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  NN0  /\  d  e.  NN0 )  -> 
( ( D `  G )  +  d )  e.  NN0 )
9720, 96sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( ( D `  G )  +  d )  e. 
NN0 )
9897adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  +  d )  e.  NN0 )
995ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  R  e.  Ring )
100 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  g  e.  B
)
10110, 11, 13deg1cl 19469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  e.  B  ->  ( D `  g )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
102101adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  ( D `  g )  e.  ( NN0  u.  {  -oo } ) )
10320ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
104 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( d  +  1 )  e. 
NN0 )
105104ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
d  +  1 )  e.  NN0 )
106103, 105nn0addcld 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) )  e.  NN0 )
107106nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) )  e.  ZZ )
108 degltlem1 19458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D `  g
)  e.  ( NN0 
u.  {  -oo } )  /\  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( D `
 g )  < 
( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  <->  ( D `  g )  <_  (
( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  -  1 ) ) )
109102, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
( D `  g
)  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  <->  ( D `  g )  <_  (
( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  -  1 ) ) )
110109biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
( D `  g
)  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  -> 
( D `  g
)  <_  ( (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) )  -  1 ) ) )
111110impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  g )  <_  (
( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  -  1 ) )
11220adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
113112nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( D `  G )  e.  CC )
114 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d  e.  NN0  ->  d  e.  CC )
115114adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  d  e.  CC )
116 peano2cn 8984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d  e.  CC  ->  (
d  +  1 )  e.  CC )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( d  +  1 )  e.  CC )
118 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
120113, 117, 119addsubassd 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( D `  G )  +  ( ( d  +  1 )  -  1 ) ) )
121 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( d  +  1 )  -  1 )  =  d )
122115, 118, 121sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( (
d  +  1 )  -  1 )  =  d )
123122oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( ( D `  G )  +  ( ( d  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( D `  G )  +  d ) )
124120, 123eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( D `  G )  +  d ) )
125124adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  - 
1 )  =  ( ( D `  G
)  +  d ) )
126111, 125breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  g )  <_  (
( D `  G
)  +  d ) )
12767ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
12817ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  G  e.  B )
1295ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
130 ply1divex.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  I  e.  K )
131130ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  I  e.  K )
132 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (coe1 `  g
)  =  (coe1 `  g
)
133 ply1divex.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  K  =  ( Base `  R
)
134132, 13, 11, 133coe1f 16292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g  e.  B  ->  (coe1 `  g ) : NN0 --> K )
135134adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (coe1 `  g ) : NN0 --> K )
136 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  d  e.  NN0 )
137103, 136nn0addcld 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
( D `  G
)  +  d )  e.  NN0 )
138 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (coe1 `  g ) : NN0 --> K  /\  (
( D `  G
)  +  d )  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) )  e.  K
)
139135, 137, 138syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) )  e.  K
)
140 ply1divex.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .x.  =  ( .r `  R )
141133, 140rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  K  /\  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) )  e.  K
)  ->  ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) )  e.  K )
142129, 131, 139, 141syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) )  e.  K
)
143 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (var1 `  R
)  =  (var1 `  R
)
144 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
145 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
146 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (.g `  (mulGrp `  P ) )  =  (.g `  (mulGrp `  P
) )
147133, 11, 143, 144, 145, 146, 13ply1tmcl 16348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) )  e.  K  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) )  e.  B )
148129, 142, 136, 147syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) )  e.  B )
14913, 71rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) )  e.  B )  -> 
( G  .xb  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  e.  B )
150127, 128, 148, 149syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) )  e.  B )
151150adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  e.  B )
152103nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  ( D `  G )  e.  RR )
153152leidd 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  G
) )
15410, 133, 11, 143, 144, 145, 146deg1tmle 19503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) )  e.  K  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( D `  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  <_  d )
155129, 142, 136, 154syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  ( D `  ( (
I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) )  <_  d )
15611, 10, 129, 13, 71, 128, 148, 103, 136, 153, 155deg1mulle2 19495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  ( D `  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) )  <_  (
( D `  G
)  +  d ) )
157156adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  <_  ( ( D `  G )  +  d ) )
158 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (coe1 `  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  =  (coe1 `  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )
159 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
160159, 133, 11, 143, 144, 145, 146, 13, 71, 140, 128, 129, 142, 136, 103coe1tmmul2fv 16354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) `  (
d  +  ( D `
 G ) ) )  =  ( ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  .x.  ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ) )
161103nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  ( D `  G )  e.  CC )
162114ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  d  e.  CC )
163161, 162addcomd 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
( D `  G
)  +  d )  =  ( d  +  ( D `  G
) ) )
164163fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
(coe1 `  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) `  (
( D `  G
)  +  d ) )  =  ( (coe1 `  ( G  .xb  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) `  (
d  +  ( D `
 G ) ) ) )
165 ply1divex.g3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) )  .x.  I )  =  .1.  )
166165oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G )
)  .x.  I )  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) )  =  (  .1.  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) )
167166ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) )  .x.  I )  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) )  =  (  .1.  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) )
168 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
169168, 13, 11, 133coe1f 16292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> K )
17017, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> K )
171170ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> K )
172 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (coe1 `  G ) : NN0 --> K  /\  ( D `  G )  e.  NN0 )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  K )
173171, 103, 172syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  K )
174133, 140rngass 15357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  K  /\  I  e.  K  /\  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) )  e.  K
) )  ->  (
( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) )  .x.  I )  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) )  =  ( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) )  .x.  ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ) )
175129, 173, 131, 139, 174syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) )  .x.  I )  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) )  =  ( ( (coe1 `  G
) `  ( D `  G ) )  .x.  ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ) )
176 ply1divex.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
177133, 140, 176rnglidm 15364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) )  e.  K
)  ->  (  .1.  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) )  =  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) )
178129, 139, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (  .1.  .x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) )  =  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) )
179167, 175, 1783eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) )  =  ( ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  .x.  ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ) )
180160, 164, 1793eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) )  =  ( (coe1 `  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) )
181180adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) )  =  ( (coe1 `  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) )
18210, 11, 13, 78, 98, 99, 100, 126, 151, 157, 132, 158, 181deg1sublt 19496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) )  <  (
( D `  G
)  +  d ) )
183182adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  NN0  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )  /\  ( g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  -> 
( D `  (
g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) )  < 
( ( D `  G )  +  d ) )
18477ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  P  e.  Grp )
185 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  B )
18613, 78grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  g  e.  B  /\  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) )  e.  B )  -> 
( g  .-  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  e.  B )
187184, 185, 150, 186syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  (
g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) )  e.  B
)
188187adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  e.  B )
189188adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  NN0  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )  /\  ( g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  -> 
( g  .-  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  e.  B )
190 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  NN0  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )  /\  ( g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
191 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  ->  ( D `  f )  =  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) ) )
192191breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  ->  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  d )  <->  ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) )  <  (
( D `  G
)  +  d ) ) )
193 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  ->  ( f  .-  ( G  .xb  q
) )  =  ( ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )
194193fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  ->  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  =  ( D `
 ( ( g 
.-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) )  .-  ( G  .xb  q ) ) ) )
195194breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  ->  ( ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  <->  ( D `  ( ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
196195rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  ->  ( E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  <->  E. q  e.  B  ( D `  ( ( g  .-  ( G 
.xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
197192, 196imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  ->  ( (
( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) )  < 
( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
198197rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  e.  B  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) )  ->  ( ( D `
 ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) )  <  (
( D `  G
)  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( ( g  .-  ( G 
.xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
199189, 190, 198syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  NN0  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )  /\  ( g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) )  <  (
( D `  G
)  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( ( g  .-  ( G 
.xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
200183, 199mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  NN0  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )  /\  ( g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( ( g  .-  ( G 
.xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) )
20167ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  P  e.  Ring )
202 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  q  e.  B )
203148adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( (
I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) )  e.  B )
204 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( +g  `  P )  =  ( +g  `  P )
20513, 204rngacl 15368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  q  e.  B  /\  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) )  e.  B )  -> 
( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) )  e.  B )
206201, 202, 203, 205syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( q
( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  e.  B )
20777ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  P  e.  Grp )
208 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  g  e.  B )
209150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  e.  B )
21017ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  G  e.  B )
21113, 71rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( G  .xb  q )  e.  B )
212201, 210, 202, 211syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( G  .xb  q )  e.  B
)
21313, 204, 78grpsubsub4 14558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  ( g  e.  B  /\  ( G  .xb  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  e.  B  /\  ( G  .xb  q )  e.  B ) )  ->  ( ( g 
.-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) )  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( g  .-  ( ( G  .xb  q ) ( +g  `  P ) ( G 
.xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) ) )
214207, 208, 209, 212, 213syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( (
g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) )  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( g  .-  ( ( G  .xb  q ) ( +g  `  P ) ( G 
.xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) ) )
21513, 204, 71rngdi 15359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( G  e.  B  /\  q  e.  B  /\  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) )  e.  B ) )  ->  ( G  .xb  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  =  ( ( G  .xb  q )
( +g  `  P ) ( G  .xb  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) )
216201, 210, 202, 203, 215syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( G  .xb  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  =  ( ( G  .xb  q )
( +g  `  P ) ( G  .xb  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) )
217216oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( g  .-  ( G  .xb  (
q ( +g  `  P
) ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) )  =  ( g  .-  ( ( G  .xb  q )
( +g  `  P ) ( G  .xb  (
( I  .x.  (
(coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) ) )
218214, 217eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( (
g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) )  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( g  .-  ( G  .xb  ( q ( +g  `  P
) ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) ) )
219218fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( D `  ( ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  =  ( D `
 ( g  .-  ( G  .xb  ( q ( +g  `  P
) ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) ) ) )
220219breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( ( D `  ( (
g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) )  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
221220biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( ( D `  ( (
g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) )  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G )  -> 
( D `  (
g  .-  ( G  .xb  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) ) )  < 
( D `  G
) ) )
222 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  ->  ( G  .xb  r )  =  ( G  .xb  ( q
( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) )
223222oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( r  =  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  ->  ( g  .-  ( G  .xb  r
) )  =  ( g  .-  ( G 
.xb  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) ) )
224223fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  ->  ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( D `
 ( g  .-  ( G  .xb  ( q ( +g  `  P
) ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) ) ) )
225224breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r  =  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) )  ->  ( ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  r
) ) )  < 
( D `  G
)  <->  ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
226225rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( q ( +g  `  P ) ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) )  e.  B  /\  ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  (
q ( +g  `  P
) ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) ) ) )  < 
( D `  G
) )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) )
227206, 221, 226ee12an 1353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  /\  q  e.  B
)  ->  ( ( D `  ( (
g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P ) ) (var1 `  R ) ) ) ) )  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
228227rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  g  e.  B )  ->  ( E. q  e.  B  ( D `  ( ( g  .-  ( G 
.xb  ( ( I 
.x.  ( (coe1 `  g
) `  ( ( D `  G )  +  d ) ) ) ( .s `  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
229228adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `
 G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  ( E. q  e.  B  ( D `  ( ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
230229adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  NN0  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )  /\  ( g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  -> 
( E. q  e.  B  ( D `  ( ( g  .-  ( G  .xb  ( ( I  .x.  ( (coe1 `  g ) `  (
( D `  G
)  +  d ) ) ) ( .s
`  P ) ( d (.g `  (mulGrp `  P
) ) (var1 `  R
) ) ) ) )  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <  ( D `
 G )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
231200, 230mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  NN0  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )  /\  ( g  e.  B  /\  ( D `  g )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) ) ) )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )
232231expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
d  e.  NN0  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) )  /\  g  e.  B )  ->  (
( D `  g
)  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) ) )
233232ralrimiva 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  NN0  /\  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )  ->  A. g  e.  B  ( ( D `  g )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
234 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  ( D `  g )  =  ( D `  f ) )
235234breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  f  ->  (
( D `  g
)  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  <->  ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) ) ) )
236 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (
g  .-  ( G  .xb  r ) )  =  ( f  .-  ( G  .xb  r ) ) )
237236fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  ( D `  ( g  .-  ( G  .xb  r
) ) )  =  ( D `  (
f  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )
238237breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  (
( D `  (
g  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
239238rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  ( E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G )  <->  E. r  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
240 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  =  q  ->  ( G  .xb  r )  =  ( G  .xb  q
) )
241240oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  =  q  ->  (
f  .-  ( G  .xb  r ) )  =  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )
242241fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  =  q  ->  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  r
) ) )  =  ( D `  (
f  .-  ( G  .xb  q ) ) ) )
243242breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  q  ->  (
( D `  (
f  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
244243cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. r  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G )  <->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) )
245239, 244syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  f  ->  ( E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G )  <->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
246235, 245imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  f  ->  (
( ( D `  g )  <  (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
247246cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. g  e.  B  (
( D `  g
)  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. r  e.  B  ( D `  ( g 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
248233, 247sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
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 G ) ) ) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
249248exp32 588 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( d  e.  NN0  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `
 f )  < 
( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) ) )
250249com12 27 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `
 f )  < 
( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  ( d  +  1 ) )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) ) )
251250a2d 23 . . . . . 6  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  (
( D `  G
)  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) )  ->  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
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.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) ) ) )
25255, 60, 65, 60, 95, 251nn0ind 10108 . . . . 5  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  (
( D `  G
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ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
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( D `  f
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256 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
f  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )
257256fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  ( D `  ( f  .-  ( G  .xb  q
) ) )  =  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) ) )
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( D `  (
f  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
259258rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( E. q  e.  B  ( D `  ( f 
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 G ) ) )
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.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) ) )  ->  ( ( D `
 F )  < 
( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
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26250, 253, 261syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( ( D `  F )  <  ( ( D `  G )  +  d )  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
263262rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e. 
NN0  ( D `  F )  <  (
( D `  G
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26449, 263mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. q  e.  B  ( D `  ( F 
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    -oocmnf 8865    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   .scvsca 13212   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365  .gcmg 14366  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   1rcur 15339  var1cv1 16251  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255   deg1 cdg1 19440
This theorem is referenced by:  ply1divalg  19523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-rlreg 16024  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442
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