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Theorem ply1divex 19522
 Description: Lemma for ply1divalg 19523: existence part. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p Poly1
ply1divalg.d deg1
ply1divalg.b
ply1divalg.m
ply1divalg.z
ply1divalg.t
ply1divalg.r1
ply1divalg.f
ply1divalg.g1
ply1divalg.g2
ply1divex.o
ply1divex.k
ply1divex.u
ply1divex.i
ply1divex.g3 coe1
Assertion
Ref Expression
ply1divex
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ply1divex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . 5
21breq1d 4033 . . . 4
32rexbidv 2564 . . 3
4 nnssnn0 9968 . . . . 5
5 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . 10
65adantr 451 . . . . . . . . 9
7 ply1divalg.f . . . . . . . . . 10
87adantr 451 . . . . . . . . 9
9 simpr 447 . . . . . . . . 9
10 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10 deg1
11 ply1divalg.p . . . . . . . . . 10 Poly1
12 ply1divalg.z . . . . . . . . . 10
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . 10
1410, 11, 12, 13deg1nn0cl 19474 . . . . . . . . 9
156, 8, 9, 14syl3anc 1182 . . . . . . . 8
1615nn0red 10019 . . . . . . 7
17 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . 10
18 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . 10
1910, 11, 12, 13deg1nn0cl 19474 . . . . . . . . . 10
205, 17, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
2120nn0red 10019 . . . . . . . 8
2221adantr 451 . . . . . . 7
2316, 22resubcld 9211 . . . . . 6
24 arch 9962 . . . . . 6
2523, 24syl 15 . . . . 5
26 ssrexv 3238 . . . . 5
274, 25, 26mpsyl 59 . . . 4
2816adantr 451 . . . . . . 7
2921ad2antrr 706 . . . . . . 7
30 nn0re 9974 . . . . . . . 8
3130adantl 452 . . . . . . 7
3228, 29, 31ltsubadd2d 9370 . . . . . 6
3332biimpd 198 . . . . 5
3433reximdva 2655 . . . 4
3527, 34mpd 14 . . 3
36 0nn0 9980 . . . 4
3710, 11, 12deg1z 19473 . . . . . 6
385, 37syl 15 . . . . 5
39 0re 8838 . . . . . . 7
40 readdcl 8820 . . . . . . 7
4121, 39, 40sylancl 643 . . . . . 6
42 mnflt 10464 . . . . . 6
4341, 42syl 15 . . . . 5
4438, 43eqbrtrd 4043 . . . 4
45 oveq2 5866 . . . . . 6
4645breq2d 4035 . . . . 5
4746rspcev 2884 . . . 4
4836, 44, 47sylancr 644 . . 3
493, 35, 48pm2.61ne 2521 . 2
507adantr 451 . . . 4
51 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10
5251breq2d 4035 . . . . . . . . 9
5352imbi1d 308 . . . . . . . 8
5453ralbidv 2563 . . . . . . 7
5554imbi2d 307 . . . . . 6
56 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10
5756breq2d 4035 . . . . . . . . 9
5857imbi1d 308 . . . . . . . 8
5958ralbidv 2563 . . . . . . 7
6059imbi2d 307 . . . . . 6
61 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10
6261breq2d 4035 . . . . . . . . 9
6362imbi1d 308 . . . . . . . 8
6463ralbidv 2563 . . . . . . 7
6564imbi2d 307 . . . . . 6
6611ply1rng 16326 . . . . . . . . . . . 12
675, 66syl 15 . . . . . . . . . . 11
6813, 12rng0cl 15362 . . . . . . . . . . 11
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . 10
7069ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
71 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7213, 71, 12rngrz 15378 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7367, 17, 72syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
7574adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
76 rnggrp 15346 . . . . . . . . . . . . . . 15
7767, 76syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
78 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . . . . 15
7913, 12, 78grpsubid1 14551 . . . . . . . . . . . . . 14
8077, 79sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13
8175, 80eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . 12
8281fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
8320nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . 13
8483addid1d 9012 . . . . . . . . . . . 12
8584adantr 451 . . . . . . . . . . 11
8682, 85breq12d 4036 . . . . . . . . . 10
8786biimpa 470 . . . . . . . . 9
88 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13
8988oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12
9089fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11
9190breq1d 4033 . . . . . . . . . 10
9291rspcev 2884 . . . . . . . . 9
9370, 87, 92syl2anc 642 . . . . . . . 8
9493ex 423 . . . . . . 7
9594ralrimiva 2626 . . . . . 6
96 nn0addcl 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9720, 96sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9897adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
995ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10110, 11, 13deg1cl 19469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102101adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10320ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104 peano2nn0 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
105104ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
106103, 105nn0addcld 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107106nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108 degltlem1 19458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
109102, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110109biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111110impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11220adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
113112nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
115114adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
116 peano2cn 8984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
120113, 117, 119addsubassd 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
121 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
122115, 118, 121sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123122oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124120, 123eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125124adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
126111, 125breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12767ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12817ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1295ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130 ply1divex.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131130ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 coe1 coe1
133 ply1divex.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134132, 13, 11, 133coe1f 16292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1
135134adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1
136 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137103, 136nn0addcld 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1
139135, 137, 138syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1
140 ply1divex.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141133, 140rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1
142129, 131, 139, 141syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1
143 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 var1 var1
144 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 mulGrp mulGrp
146 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 .gmulGrp .gmulGrp
147133, 11, 143, 144, 145, 146, 13ply1tmcl 16348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1 .gmulGrpvar1
148129, 142, 136, 147syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 .gmulGrpvar1
14913, 71rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
150127, 128, 148, 149syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 .gmulGrpvar1
151150adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 .gmulGrpvar1
152103nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
153152leidd 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15410, 133, 11, 143, 144, 145, 146deg1tmle 19503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1 .gmulGrpvar1
155129, 142, 136, 154syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 .gmulGrpvar1
15611, 10, 129, 13, 71, 128, 148, 103, 136, 153, 155deg1mulle2 19495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 .gmulGrpvar1
157156adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 .gmulGrpvar1
158 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 coe1 .gmulGrpvar1
159 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
160159, 133, 11, 143, 144, 145, 146, 13, 71, 140, 128, 129, 142, 136, 103coe1tmmul2fv 16354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 coe1
161103nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162114ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
163161, 162addcomd 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
164163fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 coe1 .gmulGrpvar1
165 ply1divex.g3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1
166165oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1 coe1
167166ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1 coe1
168 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 coe1 coe1
169168, 13, 11, 133coe1f 16292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 coe1
17017, 169syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1
171170ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1
172 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1
173171, 103, 172syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1
174133, 140rngass 15357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1 coe1
175129, 173, 131, 139, 174syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1 coe1 coe1
176 ply1divex.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
177133, 140, 176rnglidm 15364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 coe1 coe1
178129, 139, 177syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 coe1
179167, 175, 1783eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 coe1 coe1
180160, 164, 1793eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 coe1 coe1 .gmulGrpvar1
181180adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 coe1 coe1 .gmulGrpvar1
18210, 11, 13, 78, 98, 99, 100, 126, 151, 157, 132, 158, 181deg1sublt 19496 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 .gmulGrpvar1
183182adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 .gmulGrpvar1
18477ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
185 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18613, 78grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
187184, 185, 150, 186syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 .gmulGrpvar1
188187adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 .gmulGrpvar1
189188adantlrr 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 .gmulGrpvar1
190 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15
191 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
192191breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
193 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
194193fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
195194breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
196195rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
197192, 196imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
198197rspcva 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
199189, 190, 198syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
200183, 199mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13 coe1 .gmulGrpvar1
20167ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
202 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
203148adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 .gmulGrpvar1
204 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20513, 204rngacl 15368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 .gmulGrpvar1 coe1 .gmulGrpvar1
206201, 202, 203, 205syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 coe1 .gmulGrpvar1
20777ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
208 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
209150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1 .gmulGrpvar1
21017ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
21113, 71rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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