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Theorem ply1divmo 19521
Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials  F ,  G such that  G  =/=  0 and the leading coefficient of  G is not a zero divisor, there is at most one polynomial  q which satisfies  F  =  ( G  x.  q )  +  r where the degree of  r is less than the degree of  G. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1divalg.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1divalg.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
ply1divalg.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
ply1divalg.m  |-  .-  =  ( -g `  P )
ply1divalg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
ply1divalg.t  |-  .xb  =  ( .r `  P )
ply1divalg.r1  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
ply1divalg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
ply1divalg.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
ply1divalg.g2  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
ply1divmo.g3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
ply1divmo.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1divmo  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Distinct variable groups:    ph, q    B, q    D, q    F, q    G, q    .- , q    .xb , q
Allowed substitution hints:    P( q)    R( q)    E( q)    .0. ( q)

Proof of Theorem ply1divmo
Dummy variable  r is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1divalg.r1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
21adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  R  e.  Ring )
3 ply1divalg.p . . . . . . . . . . . . 13  |-  P  =  (Poly1 `  R )
43ply1rng 16326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
52, 4syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Ring )
6 rnggrp 15346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Grp )
8 ply1divalg.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
98adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  F  e.  B )
10 ply1divalg.g1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1110adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  G  e.  B )
12 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
q  e.  B )
13 ply1divalg.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  =  ( Base `  P
)
14 ply1divalg.t . . . . . . . . . . . . 13  |-  .xb  =  ( .r `  P )
1513, 14rngcl 15354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( G  .xb  q )  e.  B )
165, 11, 12, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  q
)  e.  B )
17 ply1divalg.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( -g `  P )
1813, 17grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  q )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
197, 9, 16, 18syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  q ) )  e.  B )
20 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
r  e.  B )
2113, 14rngcl 15354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  r  e.  B )  ->  ( G  .xb  r )  e.  B )
225, 11, 20, 21syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  r
)  e.  B )
2313, 17grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( G  .xb  r )  e.  B )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
247, 9, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )
2513, 17grpsubcl 14546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  /\  ( F  .-  ( G  .xb  r ) )  e.  B )  ->  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B
)
267, 19, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B )
27 ply1divalg.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( deg1  `  R )
2827, 3, 13deg1xrcl 19468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  B  ->  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
2926, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR* )
3027, 3, 13deg1xrcl 19468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  r ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR* )
3124, 30syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  RR* )
3227, 3, 13deg1xrcl 19468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  e. 
RR* )
3319, 32syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR* )
34 ifcl 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  e. 
RR* )  ->  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR* )
3531, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR* )
3627, 3, 13deg1xrcl 19468 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
3711, 36syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  G
)  e.  RR* )
3829, 35, 373jca 1132 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* ) )
3938adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR*  /\  if ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G
)  e.  RR* )
)
403, 27, 2, 13, 17, 19, 24deg1suble 19493 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
4140adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) ) )
42 xrmaxlt 10510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  e. 
RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  ( if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4333, 31, 37, 42syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( if ( ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G )  <->  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) ) )
4443biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4541, 44jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <_  if ( ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
46 xrlelttr 10487 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  e. 
RR*  /\  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR* )  ->  (
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <_  if (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  /\  if ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <_  ( D `  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) ,  ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ,  ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
4739, 45, 46sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  ( ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  < 
( D `  G
)  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) )
4847ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) ) )
49 ply1divalg.g2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  =/=  .0.  )
50 ply1divalg.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
5127, 3, 50, 13deg1nn0cl 19474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  G  e.  B  /\  G  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
521, 10, 49, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  NN0 )
5352ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  NN0 )
5453nn0red 10019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  e.  RR )
551ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  R  e.  Ring )
5613, 17grpsubcl 14546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( r  .-  q
)  e.  B )
577, 20, 12, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( r  .-  q
)  e.  B )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  e.  B )
5913, 50, 17grpsubeq0 14552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  r  e.  B  /\  q  e.  B )  ->  ( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
607, 20, 12, 59syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  r  =  q ) )
61 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  q  <->  q  =  r )
6260, 61syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =  .0.  <->  q  =  r ) )
6362necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( r  .-  q )  =/=  .0.  <->  q  =/=  r ) )
6463biimpar 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )
6527, 3, 50, 13deg1nn0cl 19474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
r  .-  q )  e.  B  /\  (
r  .-  q )  =/=  .0.  )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
6655, 58, 64, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( r  .-  q ) )  e. 
NN0 )
67 nn0addge1 10010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR  /\  ( D `  ( r 
.-  q ) )  e.  NN0 )  -> 
( D `  G
)  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r  .-  q
) ) ) )
6854, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
69 ply1divmo.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (RLReg `  R )
7010ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  e.  B )
7149ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  G  =/=  .0.  )
72 ply1divmo.g3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7372ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  G ) )  e.  E )
7427, 3, 69, 13, 14, 50, 55, 70, 71, 73, 58, 64deg1mul2 19500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )  =  ( ( D `  G )  +  ( D `  ( r 
.-  q ) ) ) )
7568, 74breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
76 rngabl 15370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
775, 76syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  ->  P  e.  Abel )
7813, 17, 77, 9, 16, 22ablnnncan1 15124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( ( G 
.xb  r )  .-  ( G  .xb  q ) ) )
7913, 14, 17, 5, 11, 20, 12rngsubdi 15385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( G  .xb  (
r  .-  q )
)  =  ( ( G  .xb  r )  .-  ( G  .xb  q
) ) )
8078, 79eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) )  =  ( G  .xb  ( r  .-  q
) ) )
8180fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G  .xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8281adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  =  ( D `  ( G 
.xb  ( r  .-  q ) ) ) )
8375, 82breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  ( D `  G )  <_  ( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) ) )
84 xrlenlt 8890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  e.  RR* )  ->  ( ( D `
 G )  <_ 
( D `  (
( F  .-  ( G  .xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8537, 29, 84syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  G )  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F  .-  ( G 
.xb  r ) ) ) )  <  ( D `  G )
) )
8685adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  (
( D `  G
)  <_  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8783, 86mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
q  e.  B  /\  r  e.  B )
)  /\  q  =/=  r )  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G 
.xb  q ) ) 
.-  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )  < 
( D `  G
) )
8887ex 423 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( q  =/=  r  ->  -.  ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
8988necon4ad 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( D `  ( ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  .-  ( F 
.-  ( G  .xb  r ) ) ) )  <  ( D `
 G )  -> 
q  =  r ) )
9048, 89syld 40 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( q  e.  B  /\  r  e.  B ) )  -> 
( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
9190ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( ( ( D `
 ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `  G ) )  -> 
q  =  r ) )
92 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( q  =  r  ->  ( G  .xb  q )  =  ( G  .xb  r
) )
9392oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( q  =  r  ->  ( F  .-  ( G  .xb  q ) )  =  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )
9493fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( q  =  r  ->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q
) ) )  =  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) ) )
9594breq1d 4033 . . 3  |-  ( q  =  r  ->  (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r ) ) )  <  ( D `
 G ) ) )
9695rmo4 2958 . 2  |-  ( E* q  e.  B ( D `  ( F 
.-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  <->  A. q  e.  B  A. r  e.  B  ( (
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G )  /\  ( D `  ( F  .-  ( G  .xb  r
) ) )  < 
( D `  G
) )  ->  q  =  r ) )
9791, 96sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E* q  e.  B
( D `  ( F  .-  ( G  .xb  q ) ) )  <  ( D `  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E*wrmo 2546   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   Abelcabel 15090   Ringcrg 15337  RLRegcrlreg 16020  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255   deg1 cdg1 19440
This theorem is referenced by:  ply1divalg  19523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-rlreg 16024  df-psr 16098  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442
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