MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lpir Unicode version

Theorem ply1lpir 19564
Description: The ring of polynomials over a division ring has the principal ideal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lpir.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1lpir  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e. LPIR )

Proof of Theorem ply1lpir
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngrng 15519 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 ply1lpir.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1rng 16326 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e.  Ring )
5 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
6 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  (LIdeal `  P )  =  (LIdeal `  P )
75, 6lidlss 15961 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  (LIdeal `  P
)  ->  i  C_  ( Base `  P )
)
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  C_  ( Base `  P )
)
9 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (idlGen1p `  R
)  =  (idlGen1p `  R
)
102, 9, 6ig1pcl 19561 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (idlGen1p `  R ) `  i
)  e.  i )
118, 10sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (idlGen1p `  R ) `  i
)  e.  ( Base `  P ) )
12 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (RSpan `  P )  =  (RSpan `  P )
132, 9, 6, 12ig1prsp 19563 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  =  ( (RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )
14 sneq 3651 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  { j }  =  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } )
1514fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  ( (RSpan `  P
) `  { j } )  =  ( (RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )
1615eqeq2d 2294 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  ( i  =  ( (RSpan `  P ) `  { j } )  <-> 
i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
( (idlGen1p `
 R ) `  i ) } ) ) )
1716rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( (idlGen1p `
 R ) `  i )  e.  (
Base `  P )  /\  i  =  (
(RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )  ->  E. j  e.  ( Base `  P ) i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
j } ) )
1811, 13, 17syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. j  e.  ( Base `  P
) i  =  ( (RSpan `  P ) `  { j } ) )
194adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  P  e.  Ring )
20 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (LPIdeal `  P
)  =  (LPIdeal `  P
)
2120, 12, 5islpidl 15998 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  ( i  e.  (LPIdeal `  P
)  <->  E. j  e.  (
Base `  P )
i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
j } ) ) )
2219, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( i  e.  (LPIdeal `  P )  <->  E. j  e.  ( Base `  P ) i  =  ( (RSpan `  P
) `  { j } ) ) )
2318, 22mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  e.  (LPIdeal `  P ) )
2423ex 423 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( i  e.  (LIdeal `  P )  ->  i  e.  (LPIdeal `  P
) ) )
2524ssrdv 3185 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (LIdeal `  P )  C_  (LPIdeal `  P )
)
2620, 6islpir2 16003 . 2  |-  ( P  e. LPIR 
<->  ( P  e.  Ring  /\  (LIdeal `  P )  C_  (LPIdeal `  P )
) )
274, 25, 26sylanbrc 645 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e. LPIR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    C_ wss 3152   {csn 3640   ` cfv 5255   Basecbs 13148   Ringcrg 15337   DivRingcdr 15512  LIdealclidl 15923  RSpancrsp 15924  LPIdealclpidl 15993  LPIRclpir 15994  Poly1cpl1 16252  idlGen1pcig1p 19515
This theorem is referenced by:  ply1pid  19565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-lpidl 15995  df-lpir 15996  df-rlreg 16024  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442  df-mon1 19516  df-uc1p 19517  df-q1p 19518  df-r1p 19519  df-ig1p 19520
  Copyright terms: Public domain W3C validator