MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lpir Unicode version

Theorem ply1lpir 19969
Description: The ring of polynomials over a division ring has the principal ideal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lpir.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1lpir  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e. LPIR )

Proof of Theorem ply1lpir
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngrng 15770 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 ply1lpir.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1rng 16570 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e.  Ring )
5 eqid 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
6 eqid 2388 . . . . . . . . 9  |-  (LIdeal `  P )  =  (LIdeal `  P )
75, 6lidlss 16208 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  (LIdeal `  P
)  ->  i  C_  ( Base `  P )
)
87adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  C_  ( Base `  P )
)
9 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  (idlGen1p `  R
)  =  (idlGen1p `  R
)
102, 9, 6ig1pcl 19966 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (idlGen1p `  R ) `  i
)  e.  i )
118, 10sseldd 3293 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (idlGen1p `  R ) `  i
)  e.  ( Base `  P ) )
12 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  (RSpan `  P )  =  (RSpan `  P )
132, 9, 6, 12ig1prsp 19968 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  =  ( (RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )
14 sneq 3769 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  { j }  =  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } )
1514fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  ( (RSpan `  P
) `  { j } )  =  ( (RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )
1615eqeq2d 2399 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  ( i  =  ( (RSpan `  P ) `  { j } )  <-> 
i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
( (idlGen1p `
 R ) `  i ) } ) ) )
1716rspcev 2996 . . . . . 6  |-  ( ( ( (idlGen1p `
 R ) `  i )  e.  (
Base `  P )  /\  i  =  (
(RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )  ->  E. j  e.  ( Base `  P ) i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
j } ) )
1811, 13, 17syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. j  e.  ( Base `  P
) i  =  ( (RSpan `  P ) `  { j } ) )
194adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  P  e.  Ring )
20 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  (LPIdeal `  P
)  =  (LPIdeal `  P
)
2120, 12, 5islpidl 16245 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  ( i  e.  (LPIdeal `  P
)  <->  E. j  e.  (
Base `  P )
i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
j } ) ) )
2219, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( i  e.  (LPIdeal `  P )  <->  E. j  e.  ( Base `  P ) i  =  ( (RSpan `  P
) `  { j } ) ) )
2318, 22mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  e.  (LPIdeal `  P ) )
2423ex 424 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( i  e.  (LIdeal `  P )  ->  i  e.  (LPIdeal `  P
) ) )
2524ssrdv 3298 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (LIdeal `  P )  C_  (LPIdeal `  P )
)
2620, 6islpir2 16250 . 2  |-  ( P  e. LPIR 
<->  ( P  e.  Ring  /\  (LIdeal `  P )  C_  (LPIdeal `  P )
) )
274, 25, 26sylanbrc 646 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e. LPIR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651    C_ wss 3264   {csn 3758   ` cfv 5395   Basecbs 13397   Ringcrg 15588   DivRingcdr 15763  LIdealclidl 16170  RSpancrsp 16171  LPIdealclpidl 16240  LPIRclpir 16241  Poly1cpl1 16499  idlGen1pcig1p 19920
This theorem is referenced by:  ply1pid  19970
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-drng 15765  df-subrg 15794  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-lidl 16174  df-rsp 16175  df-lpidl 16242  df-lpir 16243  df-rlreg 16271  df-ascl 16302  df-psr 16345  df-mvr 16346  df-mpl 16347  df-opsr 16353  df-psr1 16504  df-vr1 16505  df-ply1 16506  df-coe1 16509  df-cnfld 16628  df-mdeg 19846  df-deg1 19847  df-mon1 19921  df-uc1p 19922  df-q1p 19923  df-r1p 19924  df-ig1p 19925
  Copyright terms: Public domain W3C validator