MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lpir Unicode version

Theorem ply1lpir 19580
Description: The ring of polynomials over a division ring has the principal ideal property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lpir.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1lpir  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e. LPIR )

Proof of Theorem ply1lpir
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngrng 15535 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  R  e.  Ring )
2 ply1lpir.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1rng 16342 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e.  Ring )
5 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
6 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  (LIdeal `  P )  =  (LIdeal `  P )
75, 6lidlss 15977 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  (LIdeal `  P
)  ->  i  C_  ( Base `  P )
)
87adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  C_  ( Base `  P )
)
9 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (idlGen1p `  R
)  =  (idlGen1p `  R
)
102, 9, 6ig1pcl 19577 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (idlGen1p `  R ) `  i
)  e.  i )
118, 10sseldd 3194 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( (idlGen1p `  R ) `  i
)  e.  ( Base `  P ) )
12 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (RSpan `  P )  =  (RSpan `  P )
132, 9, 6, 12ig1prsp 19579 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  =  ( (RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )
14 sneq 3664 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  { j }  =  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } )
1514fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  ( (RSpan `  P
) `  { j } )  =  ( (RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )
1615eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( (idlGen1p `  R
) `  i )  ->  ( i  =  ( (RSpan `  P ) `  { j } )  <-> 
i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
( (idlGen1p `
 R ) `  i ) } ) ) )
1716rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( ( (idlGen1p `
 R ) `  i )  e.  (
Base `  P )  /\  i  =  (
(RSpan `  P ) `  { ( (idlGen1p `  R
) `  i ) } ) )  ->  E. j  e.  ( Base `  P ) i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
j } ) )
1811, 13, 17syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  E. j  e.  ( Base `  P
) i  =  ( (RSpan `  P ) `  { j } ) )
194adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  P  e.  Ring )
20 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (LPIdeal `  P
)  =  (LPIdeal `  P
)
2120, 12, 5islpidl 16014 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Ring  ->  ( i  e.  (LPIdeal `  P
)  <->  E. j  e.  (
Base `  P )
i  =  ( (RSpan `  P ) `  {
j } ) ) )
2219, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  ( i  e.  (LPIdeal `  P )  <->  E. j  e.  ( Base `  P ) i  =  ( (RSpan `  P
) `  { j } ) ) )
2318, 22mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  i  e.  (LIdeal `  P )
)  ->  i  e.  (LPIdeal `  P ) )
2423ex 423 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  ( i  e.  (LIdeal `  P )  ->  i  e.  (LPIdeal `  P
) ) )
2524ssrdv 3198 . 2  |-  ( R  e.  DivRing  ->  (LIdeal `  P )  C_  (LPIdeal `  P )
)
2620, 6islpir2 16019 . 2  |-  ( P  e. LPIR 
<->  ( P  e.  Ring  /\  (LIdeal `  P )  C_  (LPIdeal `  P )
) )
274, 25, 26sylanbrc 645 1  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e. LPIR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    C_ wss 3165   {csn 3653   ` cfv 5271   Basecbs 13164   Ringcrg 15353   DivRingcdr 15528  LIdealclidl 15939  RSpancrsp 15940  LPIdealclpidl 16009  LPIRclpir 16010  Poly1cpl1 16268  idlGen1pcig1p 19531
This theorem is referenced by:  ply1pid  19581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-lpidl 16011  df-lpir 16012  df-rlreg 16040  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-vr1 16274  df-ply1 16275  df-coe1 16278  df-cnfld 16394  df-mdeg 19457  df-deg1 19458  df-mon1 19532  df-uc1p 19533  df-q1p 19534  df-r1p 19535  df-ig1p 19536
  Copyright terms: Public domain W3C validator