MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1lss Unicode version

Theorem ply1lss 16291
Description: Univariate polynomials form a linear subspace of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1val.2  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
ply1bas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1lss  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  ( LSubSp `  S )
)

Proof of Theorem ply1lss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . 3  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
3 ply1val.1 . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 ply1val.2 . . . 4  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
5 ply1bas.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
63, 4, 5ply1bas 16290 . . 3  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
7 1on 6502 . . . 4  |-  1o  e.  On
87a1i 10 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  1o  e.  On )
9 id 19 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
101, 2, 6, 8, 9mpllss 16198 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  ( LSubSp `  ( 1o mPwSer  R ) ) )
11 eqidd 2297 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
) )
124psr1val 16281 . . . 4  |-  S  =  ( ( 1o ordPwSer  R ) `
 (/) )
13 0ss 3496 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( 1o  X.  1o )
1413a1i 10 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  C_  ( 1o  X.  1o ) )
151, 12, 14opsrbas 16236 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( Base `  S ) )
16 ssv 3211 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  C_  _V
1716a1i 10 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  C_  _V )
181, 12, 14opsrplusg 16237 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( +g  `  S ) )
1918proplem3 13609 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  _V  /\  y  e.  _V )
)  ->  ( x
( +g  `  ( 1o mPwSer  R ) ) y )  =  ( x ( +g  `  S
) y ) )
20 ovex 5899 . . . 4  |-  ( x ( .s `  ( 1o mPwSer  R ) ) y )  e.  _V
2120a1i 10 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) ) )  ->  ( x
( .s `  ( 1o mPwSer  R ) ) y )  e.  _V )
221, 12, 14opsrvsca 16239 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( .s
`  ( 1o mPwSer  R ) )  =  ( .s
`  S ) )
2322proplem3 13609 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) ) )  ->  ( x
( .s `  ( 1o mPwSer  R ) ) y )  =  ( x ( .s `  S
) y ) )
241, 8, 9psrsca 16150 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  ( 1o mPwSer  R ) ) )
2524fveq2d 5545 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  ( 1o mPwSer  R ) ) ) )
261, 12, 14, 8, 9opsrsca 16240 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  S )
)
2726fveq2d 5545 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  (Scalar `  S
) ) )
2811, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27lsspropd 15790 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( LSubSp `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( LSubSp `  S ) )
2910, 28eleqtrd 2372 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  ( LSubSp `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   Oncon0 4408    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   Ringcrg 15353   LSubSpclss 15705   mPwSer cmps 16103   mPoly cmpl 16105  PwSer1cps1 16266  Poly1cpl1 16268
This theorem is referenced by:  ply1assa  16294  ply1lmod  16346
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-subg 14634  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-lss 15706  df-psr 16114  df-mpl 16116  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-ply1 16275
  Copyright terms: Public domain W3C validator