MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mpl1 Unicode version

Theorem ply1mpl1 16578
Description: The univariate polynomial ring has the same one as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mpl1.m  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
ply1mpl1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mpl1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  P )
Assertion
Ref Expression
ply1mpl1  |-  .1.  =  ( 1r `  M )

Proof of Theorem ply1mpl1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mpl1.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  P )
2 eqidd 2389 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( Base `  P
)  =  ( Base `  P ) )
3 ply1mpl1.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
5 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
63, 4, 5ply1bas 16521 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
7 ply1mpl1.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
87fveq2i 5672 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
96, 8eqtr4i 2411 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  M )
109a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( Base `  P
)  =  ( Base `  M ) )
11 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
123, 7, 11ply1mulr 16549 . . . . . 6  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  M
)
1312a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( .r `  P
)  =  ( .r
`  M ) )
1413proplem3 13844 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( Base `  P
)  /\  y  e.  ( Base `  P )
) )  ->  (
x ( .r `  P ) y )  =  ( x ( .r `  M ) y ) )
152, 10, 14rngidpropd 15728 . . 3  |-  (  T. 
->  ( 1r `  P
)  =  ( 1r
`  M ) )
1615trud 1329 . 2  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  M
)
171, 16eqtri 2408 1  |-  .1.  =  ( 1r `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   1oc1o 6654   Basecbs 13397   .rcmulr 13458   1rcur 15590   mPoly cmpl 16336  PwSer1cps1 16497  Poly1cpl1 16499
This theorem is referenced by:  ply1ascl  16579  ply1nzb  19913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-ple 13477  df-0g 13655  df-mgp 15577  df-ur 15593  df-psr 16345  df-mpl 16347  df-opsr 16353  df-psr1 16504  df-ply1 16506
  Copyright terms: Public domain W3C validator