MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mpl1 Unicode version

Theorem ply1mpl1 16350
Description: The univariate polynomial ring has the same one as the corresponding multivariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mpl1.m  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
ply1mpl1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1mpl1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  P )
Assertion
Ref Expression
ply1mpl1  |-  .1.  =  ( 1r `  M )

Proof of Theorem ply1mpl1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mpl1.o . 2  |-  .1.  =  ( 1r `  P )
2 eqidd 2297 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( Base `  P
)  =  ( Base `  P ) )
3 ply1mpl1.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
5 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
63, 4, 5ply1bas 16290 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
7 ply1mpl1.m . . . . . . 7  |-  M  =  ( 1o mPoly  R )
87fveq2i 5544 . . . . . 6  |-  ( Base `  M )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
96, 8eqtr4i 2319 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  M )
109a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( Base `  P
)  =  ( Base `  M ) )
11 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
123, 7, 11ply1mulr 16321 . . . . . 6  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  M
)
1312a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( .r `  P
)  =  ( .r
`  M ) )
1413proplem3 13609 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  ( Base `  P
)  /\  y  e.  ( Base `  P )
) )  ->  (
x ( .r `  P ) y )  =  ( x ( .r `  M ) y ) )
152, 10, 14rngidpropd 15493 . . 3  |-  (  T. 
->  ( 1r `  P
)  =  ( 1r
`  M ) )
1615trud 1314 . 2  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  M
)
171, 16eqtri 2316 1  |-  .1.  =  ( 1r `  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1oc1o 6488   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   1rcur 15355   mPoly cmpl 16105  PwSer1cps1 16266  Poly1cpl1 16268
This theorem is referenced by:  ply1ascl  16351  ply1nzb  19524
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-ple 13244  df-0g 13420  df-mgp 15342  df-ur 15358  df-psr 16114  df-mpl 16116  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-ply1 16275
  Copyright terms: Public domain W3C validator