MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1mulr Structured version   Unicode version

Theorem ply1mulr 16613
Description: Value of multiplication in a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1plusg.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
ply1plusg.s  |-  S  =  ( 1o mPoly  R )
ply1mulr.n  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
Assertion
Ref Expression
ply1mulr  |-  .x.  =  ( .r `  S )

Proof of Theorem ply1mulr
StepHypRef Expression
1 ply1mulr.n . 2  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
2 ply1plusg.s . . . 4  |-  S  =  ( 1o mPoly  R )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
52, 3, 4mplmulr 16607 . . 3  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
6 eqid 2435 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
7 eqid 2435 . . . 4  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )
86, 3, 7psr1mulr 16610 . . 3  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) )
9 fvex 5734 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  _V
10 ply1plusg.y . . . . . 6  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
1110, 6ply1val 16584 . . . . 5  |-  Y  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
1211, 7ressmulr 13574 . . . 4  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  _V  ->  ( .r `  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  Y
) )
139, 12ax-mp 8 . . 3  |-  ( .r
`  (PwSer1 `  R ) )  =  ( .r `  Y )
145, 8, 133eqtr2i 2461 . 2  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  Y
)
151, 14eqtr4i 2458 1  |-  .x.  =  ( .r `  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709   Basecbs 13461   .rcmulr 13522   mPwSer cmps 16398   mPoly cmpl 16400  PwSer1cps1 16561  Poly1cpl1 16563
This theorem is referenced by:  ressply1mul  16617  subrgply1  16619  ply1opprmul  16625  ply1mpl1  16642  coe1mul  16655  coe1tm  16657  ply1coe  16676  evl1rhm  19941  deg1mulle2  20024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-mulr 13535  df-ple 13541  df-psr 16409  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-ply1 16570
  Copyright terms: Public domain W3C validator