Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1opprmul Structured version   Unicode version

Theorem ply1opprmul 16635
 Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1opprmul.y Poly1
ply1opprmul.s oppr
ply1opprmul.z Poly1
ply1opprmul.t
ply1opprmul.u
ply1opprmul.b
Assertion
Ref Expression
ply1opprmul

Proof of Theorem ply1opprmul
StepHypRef Expression
1 id 21 . 2
2 ply1opprmul.y . . . 4 Poly1
3 ply1opprmul.b . . . 4
42, 3ply1bascl 16603 . . 3 PwSer1
5 eqid 2438 . . . 4 PwSer1 PwSer1
6 eqid 2438 . . . 4 PwSer1 PwSer1
75, 6psr1bascl 16600 . . 3 PwSer1 mPwSer
84, 7syl 16 . 2 mPwSer
92, 3ply1bascl 16603 . . 3 PwSer1
105, 6psr1bascl 16600 . . 3 PwSer1 mPwSer
119, 10syl 16 . 2 mPwSer
12 eqid 2438 . . 3 mPwSer mPwSer
13 ply1opprmul.s . . 3 oppr
14 eqid 2438 . . 3 mPwSer mPwSer
15 eqid 2438 . . . 4 mPoly mPoly
16 ply1opprmul.t . . . . 5
172, 15, 16ply1mulr 16623 . . . 4 mPoly
1815, 12, 17mplmulr 16617 . . 3 mPwSer
19 eqid 2438 . . . 4 mPoly mPoly
20 ply1opprmul.z . . . . 5 Poly1
21 ply1opprmul.u . . . . 5
2220, 19, 21ply1mulr 16623 . . . 4 mPoly
2319, 14, 22mplmulr 16617 . . 3 mPwSer
24 eqid 2438 . . 3 mPwSer mPwSer
2512, 13, 14, 18, 23, 24psropprmul 16634 . 2 mPwSer mPwSer
261, 8, 11, 25syl3an 1227 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  cfv 5456  (class class class)co 6083  c1o 6719  cbs 13471  cmulr 13532  crg 15662  opprcoppr 15729   mPwSer cmps 16408   mPoly cmpl 16410  PwSer1cps1 16571  Poly1cpl1 16573 This theorem is referenced by:  ply1divalg2  20063 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-psr 16419  df-mpl 16421  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-ply1 16580
 Copyright terms: Public domain W3C validator