MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1pid Unicode version

Theorem ply1pid 19618
Description: The polynomials over a field are a PID. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lpir.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1pid  |-  ( R  e. Field  ->  P  e. PID )

Proof of Theorem ply1pid
StepHypRef Expression
1 fldidom 16095 . . 3  |-  ( R  e. Field  ->  R  e. IDomn )
2 ply1lpir.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1idom 19563 . . 3  |-  ( R  e. IDomn  ->  P  e. IDomn )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( R  e. Field  ->  P  e. IDomn )
5 isfld 15570 . . . 4  |-  ( R  e. Field 
<->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
65simplbi 446 . . 3  |-  ( R  e. Field  ->  R  e.  DivRing )
72ply1lpir 19617 . . 3  |-  ( R  e.  DivRing  ->  P  e. LPIR )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( R  e. Field  ->  P  e. LPIR )
9 df-pid 16076 . . 3  |- PID  =  (IDomn 
i^i LPIR )
109elin2 3393 . 2  |-  ( P  e. PID 
<->  ( P  e. IDomn  /\  P  e. LPIR ) )
114, 8, 10sylanbrc 645 1  |-  ( R  e. Field  ->  P  e. PID )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   ` cfv 5292   CRingccrg 15387   DivRingcdr 15561  Fieldcfield 15562  LPIRclpir 16043  IDomncidom 16071  PIDcpid 16072  Poly1cpl1 16301
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-ofr 6121  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-hash 11385  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-ghm 14730  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-cring 15390  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-drng 15563  df-field 15564  df-subrg 15592  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-sra 15974  df-rgmod 15975  df-lidl 15976  df-rsp 15977  df-lpidl 16044  df-lpir 16045  df-nzr 16059  df-rlreg 16073  df-domn 16074  df-idom 16075  df-pid 16076  df-ascl 16104  df-psr 16147  df-mvr 16148  df-mpl 16149  df-opsr 16155  df-psr1 16306  df-vr1 16307  df-ply1 16308  df-coe1 16311  df-cnfld 16433  df-mdeg 19494  df-deg1 19495  df-mon1 19569  df-uc1p 19570  df-q1p 19571  df-r1p 19572  df-ig1p 19573
  Copyright terms: Public domain W3C validator