MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Unicode version

Theorem ply1plusgfvi 16320
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 5579 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  R )
21fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R ) )  =  (Poly1 `  R
) )
32fveq2d 5529 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
4 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  (/) )  =  (Poly1 `  (/) )
5 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  (/) )  =  ( 1o mPoly  (/) )
6 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )
74, 5, 6ply1plusg 16303 . . . . 5  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
8 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( 1o mPwSer  (/) )  =  ( 1o mPwSer  (/) )
9 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
105, 8, 9mplplusg 16297 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
11 base0 13185 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
12 psr1baslem 16264 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
13 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
14 1on 6486 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
1514a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1o  e.  On )
168, 11, 12, 13, 15psrbas 16124 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) ) )
1716trud 1314 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )
18 0nn0 9980 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
1918fconst6 5431 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
X.  { 0 } ) : 1o --> NN0
20 nn0ex 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
2114elexi 2797 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
2220, 21elmap 6796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
0 } ) : 1o --> NN0 )
2319, 22mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
X.  { 0 } )  e.  ( NN0 
^m  1o )
24 ne0i 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/) )
25 map0b 6806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/)  ->  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/) )
2623, 24, 25mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/)
2717, 26eqtr2i 2304 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )
28 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
29 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
308, 27, 28, 29psrplusg 16126 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )
31 xp0 5098 . . . . . . 7  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
3231reseq2i 4952 . . . . . 6  |-  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )  =  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
3310, 30, 323eqtri 2307 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
34 res0 4959 . . . . . 6  |-  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  (/)
35 df-plusg 13221 . . . . . . 7  |-  +g  = Slot  2
3635str0 13184 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3734, 36eqtri 2303 . . . . 5  |-  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
387, 33, 373eqtri 2307 . . . 4  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (/) )
39 fvprc 5519 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  (/) )
4039fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R
) )  =  (Poly1 `  (/) ) )
4140fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) ) )
42 fvprc 5519 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  R )  =  (/) )
4342fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  R
) )  =  ( +g  `  (/) ) )
4438, 41, 433eqtr4a 2341 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
453, 44pm2.61i 156 . 2  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )
4645eqcomi 2287 1  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {csn 3640    _I cid 4304   Oncon0 4392    X. cxp 4687    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   1oc1o 6472    ^m cmap 6772   0cc0 8737   2c2 9795   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   mPwSer cmps 16087   mPoly cmpl 16089  Poly1cpl1 16252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-psr 16098  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259
  Copyright terms: Public domain W3C validator