MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Structured version   Unicode version

Theorem ply1plusgfvi 16636
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 5783 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  R )
21fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R ) )  =  (Poly1 `  R
) )
32fveq2d 5732 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
4 eqid 2436 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  (/) )  =  (Poly1 `  (/) )
5 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  (/) )  =  ( 1o mPoly  (/) )
6 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )
74, 5, 6ply1plusg 16619 . . . . 5  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
8 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 1o mPwSer  (/) )  =  ( 1o mPwSer  (/) )
9 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
105, 8, 9mplplusg 16614 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
11 base0 13506 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
12 psr1baslem 16583 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
13 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
14 1on 6731 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1o  e.  On )
168, 11, 12, 13, 15psrbas 16443 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) ) )
1716trud 1332 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )
18 0nn0 10236 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
1918fconst6 5633 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
X.  { 0 } ) : 1o --> NN0
20 nn0ex 10227 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
2114elexi 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
2220, 21elmap 7042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
0 } ) : 1o --> NN0 )
2319, 22mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
X.  { 0 } )  e.  ( NN0 
^m  1o )
24 ne0i 3634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/) )
25 map0b 7052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/)  ->  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/) )
2623, 24, 25mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/)
2717, 26eqtr2i 2457 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )
28 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
29 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
308, 27, 28, 29psrplusg 16445 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )
31 xp0 5291 . . . . . . 7  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
3231reseq2i 5143 . . . . . 6  |-  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )  =  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
3310, 30, 323eqtri 2460 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
34 res0 5150 . . . . . 6  |-  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  (/)
35 df-plusg 13542 . . . . . . 7  |-  +g  = Slot  2
3635str0 13505 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3734, 36eqtri 2456 . . . . 5  |-  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
387, 33, 373eqtri 2460 . . . 4  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (/) )
39 fvprc 5722 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  (/) )
4039fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R
) )  =  (Poly1 `  (/) ) )
4140fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) ) )
42 fvprc 5722 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  R )  =  (/) )
4342fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  R
) )  =  ( +g  `  (/) ) )
4438, 41, 433eqtr4a 2494 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
453, 44pm2.61i 158 . 2  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )
4645eqcomi 2440 1  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   _Vcvv 2956   (/)c0 3628   {csn 3814    _I cid 4493   Oncon0 4581    X. cxp 4876    |` cres 4880   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   1oc1o 6717    ^m cmap 7018   0cc0 8990   2c2 10049   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   mPwSer cmps 16406   mPoly cmpl 16408  Poly1cpl1 16571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-psr 16417  df-mpl 16419  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-ply1 16578
  Copyright terms: Public domain W3C validator