MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1plusgfvi Unicode version

Theorem ply1plusgfvi 16336
Description: Protection compatibility of the univariate polynomial addition. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
ply1plusgfvi  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )

Proof of Theorem ply1plusgfvi
StepHypRef Expression
1 fvi 5595 . . . . 5  |-  ( R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  R )
21fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R ) )  =  (Poly1 `  R
) )
32fveq2d 5545 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
4 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  (/) )  =  (Poly1 `  (/) )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 1o mPoly  (/) )  =  ( 1o mPoly  (/) )
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )
74, 5, 6ply1plusg 16319 . . . . 5  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
8 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1o mPwSer  (/) )  =  ( 1o mPwSer  (/) )
9 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPoly 
(/) ) )
105, 8, 9mplplusg 16313 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
11 base0 13201 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
12 psr1baslem 16280 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
13 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
14 1on 6502 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  On
1514a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  (  T. 
->  1o  e.  On )
168, 11, 12, 13, 15psrbas 16140 . . . . . . . . 9  |-  (  T. 
->  ( Base `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) ) )
1716trud 1314 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )
18 0nn0 9996 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  NN0
1918fconst6 5447 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o 
X.  { 0 } ) : 1o --> NN0
20 nn0ex 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  e.  _V
2114elexi 2810 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  _V
2220, 21elmap 6812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  <-> 
( 1o  X.  {
0 } ) : 1o --> NN0 )
2319, 22mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o 
X.  { 0 } )  e.  ( NN0 
^m  1o )
24 ne0i 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1o  X.  { 0 } )  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/) )
25 map0b 6822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  ^m  1o )  =/=  (/)  ->  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/) )
2623, 24, 25mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  ^m  ( NN0  ^m  1o ) )  =  (/)
2717, 26eqtr2i 2317 . . . . . . 7  |-  (/)  =  (
Base `  ( 1o mPwSer  (/) ) )
28 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
29 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  ( +g  `  ( 1o mPwSer 
(/) ) )
308, 27, 28, 29psrplusg 16142 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( 1o mPwSer  (/) ) )  =  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )
31 xp0 5114 . . . . . . 7  |-  ( (/)  X.  (/) )  =  (/)
3231reseq2i 4968 . . . . . 6  |-  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  ( (/)  X.  (/) ) )  =  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
3310, 30, 323eqtri 2320 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( 1o mPoly  (/) ) )  =  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )
34 res0 4975 . . . . . 6  |-  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  (/)
35 df-plusg 13237 . . . . . . 7  |-  +g  = Slot  2
3635str0 13200 . . . . . 6  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
3734, 36eqtri 2316 . . . . 5  |-  (  o F ( +g  `  (/) )  |`  (/) )  =  ( +g  `  (/) )
387, 33, 373eqtri 2320 . . . 4  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) )  =  ( +g  `  (/) )
39 fvprc 5535 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (  _I  `  R )  =  (/) )
4039fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  (  _I  `  R
) )  =  (Poly1 `  (/) ) )
4140fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (/) ) ) )
42 fvprc 5535 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  R )  =  (/) )
4342fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  R
) )  =  ( +g  `  (/) ) )
4438, 41, 433eqtr4a 2354 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) ) )
453, 44pm2.61i 156 . 2  |-  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )
4645eqcomi 2300 1  |-  ( +g  `  (Poly1 `  R ) )  =  ( +g  `  (Poly1 `  (  _I  `  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   {csn 3653    _I cid 4320   Oncon0 4408    X. cxp 4703    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   1oc1o 6488    ^m cmap 6788   0cc0 8753   2c2 9811   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   mPwSer cmps 16103   mPoly cmpl 16105  Poly1cpl1 16268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-psr 16114  df-mpl 16116  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-ply1 16275
  Copyright terms: Public domain W3C validator