MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rclOLD Unicode version

Theorem ply1rclOLD 16282
Description: Obsolete version of elbasfv 13191 as of 5-Apr-2016. Reverse closure for ring existence from the univariate polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1rcl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1rcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1rclOLD  |-  ( F  e.  B  ->  R  e.  _V )

Proof of Theorem ply1rclOLD
StepHypRef Expression
1 n0i 3460 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  -.  B  =  (/) )
2 ply1rcl.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
3 fvprc 5519 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (Poly1 `  R )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  P  =  (/) )
54fveq2d 5529 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (
Base `  P )  =  ( Base `  (/) ) )
6 ply1rcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 baseid 13190 . . . 4  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
87str0 13184 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
95, 6, 83eqtr4g 2340 . 2  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  B  =  (/) )
101, 9nsyl2 119 1  |-  ( F  e.  B  ->  R  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   ` cfv 5255   ndxcnx 13145   Basecbs 13148  Poly1cpl1 16252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153
  Copyright terms: Public domain W3C validator