MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1rng Structured version   Unicode version

Theorem ply1rng 16642
Description: Univariate polynomials form a ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1rng.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
Assertion
Ref Expression
ply1rng  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )

Proof of Theorem ply1rng
StepHypRef Expression
1 ply1rng.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 eqid 2436 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
3 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
41, 2, 3ply1bas 16593 . . 3  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )
51, 2, 3ply1subrg 16595 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  P )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
64, 5syl5eqelr 2521 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) ) )
71, 2ply1val 16592 . . 3  |-  P  =  ( (PwSer1 `  R )s  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
87subrgrng 15871 . 2  |-  ( (
Base `  ( 1o mPoly  R ) )  e.  (SubRing `  (PwSer1 `  R ) )  ->  P  e.  Ring )
96, 8syl 16 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1oc1o 6717   Basecbs 13469   Ringcrg 15660  SubRingcsubrg 15864   mPoly cmpl 16408  PwSer1cps1 16569  Poly1cpl1 16571
This theorem is referenced by:  coe1z  16656  coe1add  16657  coe1subfv  16659  ply1tmcl  16664  coe1pwmul  16671  ply1sclf  16677  ply1scl0  16681  ply1scl1  16683  evl1expd  19958  deg1addle2  20025  deg1add  20026  deg1suble  20030  deg1sub  20031  deg1sublt  20033  deg1mul2  20037  deg1mul3  20038  deg1mul3le  20039  deg1pwle  20042  deg1pw  20043  ply1nz  20044  ply1domn  20046  ply1divmo  20058  ply1divex  20059  uc1pmon1p  20074  r1pcl  20080  r1pid  20082  dvdsq1p  20083  dvdsr1p  20084  ply1remlem  20085  ply1rem  20086  ig1peu  20094  ig1pval2  20096  ig1pdvds  20099  ig1prsp  20100  ply1lpir  20101  plypf1  20131  lgsqrlem2  21126  lgsqrlem3  21127  lgsqrlem4  21128  hbtlem2  27305  hbtlem4  27307  hbtlem5  27309  hbtlem6  27310  hbt  27311  idomrootle  27488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-ofr 6306  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-subrg 15866  df-psr 16417  df-mpl 16419  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-ply1 16578
  Copyright terms: Public domain W3C validator