MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scl0 Unicode version

Theorem ply1scl0 16609
Description: The zero scalar is zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1scl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
ply1scl0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
ply1scl0.y  |-  Y  =  ( 0g `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1scl0  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  Y )

Proof of Theorem ply1scl0
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 ply1scl0.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
31, 2rng0cl 15613 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
4 ply1scl.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
5 ply1scl.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
65ply1sca2 16576 . . . 4  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  P )
7 df-base 13402 . . . . 5  |-  Base  = Slot  1
87, 1strfvi 13435 . . . 4  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  (  _I  `  R ) )
9 eqid 2388 . . . 4  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
10 eqid 2388 . . . 4  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
114, 6, 8, 9, 10asclval 16322 . . 3  |-  (  .0. 
e.  ( Base `  R
)  ->  ( A `  .0.  )  =  (  .0.  ( .s `  P ) ( 1r
`  P ) ) )
123, 11syl 16 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  (  .0.  ( .s
`  P ) ( 1r `  P ) ) )
13 fvi 5723 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  _I 
`  R )  =  R )
1413fveq2d 5673 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0g
`  (  _I  `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
1514, 2syl6reqr 2439 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  =  ( 0g `  (  _I 
`  R ) ) )
1615oveq1d 6036 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  .0.  ( .s `  P
) ( 1r `  P ) )  =  ( ( 0g `  (  _I  `  R ) ) ( .s `  P ) ( 1r
`  P ) ) )
175ply1lmod 16574 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
185ply1rng 16570 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
19 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
2019, 10rngidcl 15612 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  ( 1r
`  P )  e.  ( Base `  P
) )
2118, 20syl 16 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  P )  e.  ( Base `  P
) )
22 eqid 2388 . . . 4  |-  ( 0g
`  (  _I  `  R ) )  =  ( 0g `  (  _I  `  R ) )
23 ply1scl0.y . . . 4  |-  Y  =  ( 0g `  P
)
2419, 6, 9, 22, 23lmod0vs 15911 . . 3  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( 1r `  P )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 0g `  (  _I  `  R ) ) ( .s `  P
) ( 1r `  P ) )  =  Y )
2517, 21, 24syl2anc 643 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 0g `  (  _I 
`  R ) ) ( .s `  P
) ( 1r `  P ) )  =  Y )
2612, 16, 253eqtrd 2424 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    _I cid 4435   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   1c1 8925   Basecbs 13397   .scvsca 13461   0gc0g 13651   Ringcrg 15588   1rcur 15590   LModclmod 15878  algSccascl 16299  Poly1cpl1 16499
This theorem is referenced by:  ply1scln0  16610  facth1  19955  fta1g  19958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-subrg 15794  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-ascl 16302  df-psr 16345  df-mpl 16347  df-opsr 16353  df-psr1 16504  df-ply1 16506
  Copyright terms: Public domain W3C validator