MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1sclf Unicode version

Theorem ply1sclf 16597
Description: A scalar polynomial is a polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1scl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
coe1scl.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1sclf.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1sclf  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : K
--> B )

Proof of Theorem ply1sclf
StepHypRef Expression
1 ply1scl.a . 2  |-  A  =  (algSc `  P )
2 ply1scl.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1sca2 16568 . 2  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  P )
42ply1rng 16562 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
52ply1lmod 16566 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
6 df-base 13394 . . 3  |-  Base  = Slot  1
7 coe1scl.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  R
)
86, 7strfvi 13427 . 2  |-  K  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
9 ply1sclf.b . 2  |-  B  =  ( Base `  P
)
101, 3, 4, 5, 8, 9asclf 16316 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : K
--> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    _I cid 4427   -->wf 5383   ` cfv 5387   1c1 8917   Basecbs 13389   Ringcrg 15580  algSccascl 16291  Poly1cpl1 16491
This theorem is referenced by:  ply1sclf1  16600  evl1sca  19810  evl1scad  19811  pf1const  19826  deg1sclle  19895  deg1scl  19896  deg1mul3  19898  deg1mul3le  19899  ply1nz  19904  uc1pmon1p  19934  ply1remlem  19945  fta1blem  19951  ig1peu  19954  hbtlem2  26990  idomrootle  27173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-subrg 15786  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-ascl 16294  df-psr 16337  df-mpl 16339  df-opsr 16345  df-psr1 16496  df-ply1 16498
  Copyright terms: Public domain W3C validator