MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scln0 Structured version   Unicode version

Theorem ply1scln0 16672
Description: Nonzero scalars create nonzero polynomials. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1scl.a  |-  A  =  (algSc `  P )
ply1scl0.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
ply1scl0.y  |-  Y  =  ( 0g `  P
)
ply1scln0.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
ply1scln0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  X )  =/=  Y )

Proof of Theorem ply1scln0
StepHypRef Expression
1 ply1scl.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 ply1scl.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (algSc `  P )
3 ply1scln0.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  R
)
4 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
51, 2, 3, 4ply1sclf1 16670 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  A : K -1-1-> ( Base `  P
) )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  A : K -1-1-> ( Base `  P
) )
7 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  X  e.  K )
8 ply1scl0.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
93, 8rng0cl 15675 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  .0.  e.  K )
11 f1fveq 6000 . . . . . 6  |-  ( ( A : K -1-1-> (
Base `  P )  /\  ( X  e.  K  /\  .0.  e.  K ) )  ->  ( ( A `  X )  =  ( A `  .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
126, 7, 10, 11syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  (
( A `  X
)  =  ( A `
 .0.  )  <->  X  =  .0.  ) )
1312biimpd 199 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  (
( A `  X
)  =  ( A `
 .0.  )  ->  X  =  .0.  )
)
1413necon3d 2636 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K )  ->  ( X  =/=  .0.  ->  ( A `  X )  =/=  ( A `  .0.  ) ) )
15143impia 1150 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  X )  =/=  ( A `  .0.  ) )
16 ply1scl0.y . . . 4  |-  Y  =  ( 0g `  P
)
171, 2, 8, 16ply1scl0 16671 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A `
 .0.  )  =  Y )
18173ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  .0.  )  =  Y )
1915, 18neeqtrd 2620 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  K  /\  X  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  X )  =/=  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446   Basecbs 13459   0gc0g 13713   Ringcrg 15650  algSccascl 16361  Poly1cpl1 16561
This theorem is referenced by:  deg1scl  20026  ply1nz  20034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-hash 11609  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-ghm 14994  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-ascl 16364  df-psr 16407  df-mvr 16408  df-mpl 16409  df-opsr 16415  df-psr1 16566  df-vr1 16567  df-ply1 16568  df-coe1 16571
  Copyright terms: Public domain W3C validator