MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scltm Unicode version

Theorem ply1scltm 16456
Description: A scalar is a term with zero exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scltm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1scltm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1scltm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1scltm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1scltm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
ply1scltm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
ply1scltm.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
ply1scltm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  ( A `  F )  =  ( F  .x.  ( 0  .^  X
) ) )

Proof of Theorem ply1scltm
StepHypRef Expression
1 ply1scltm.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
2 ply1scltm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1sca2 16431 . . . 4  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  P )
4 df-base 13250 . . . . 5  |-  Base  = Slot  1
5 ply1scltm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
64, 5strfvi 13283 . . . 4  |-  K  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
7 ply1scltm.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
8 eqid 2358 . . . 4  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
91, 3, 6, 7, 8asclval 16174 . . 3  |-  ( F  e.  K  ->  ( A `  F )  =  ( F  .x.  ( 1r `  P ) ) )
109adantl 452 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  ( A `  F )  =  ( F  .x.  ( 1r `  P ) ) )
11 ply1scltm.x . . . . . 6  |-  X  =  (var1 `  R )
12 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1311, 2, 12vr1cl 16393 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
14 ply1scltm.n . . . . . . 7  |-  N  =  (mulGrp `  P )
1514, 12mgpbas 15430 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  N )
1614, 8rngidval 15442 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  N
)
17 ply1scltm.e . . . . . 6  |-  .^  =  (.g
`  N )
1815, 16, 17mulg0 14671 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 
.^  X )  =  ( 1r `  P
) )
1913, 18syl 15 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0 
.^  X )  =  ( 1r `  P
) )
2019adantr 451 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  (
0  .^  X )  =  ( 1r `  P ) )
2120oveq2d 5961 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  ( F  .x.  ( 0  .^  X ) )  =  ( F  .x.  ( 1r `  P ) ) )
2210, 21eqtr4d 2393 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  ( A `  F )  =  ( F  .x.  ( 0  .^  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    _I cid 4386   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   0cc0 8827   1c1 8828   Basecbs 13245   .scvsca 13309  .gcmg 14465  mulGrpcmgp 15424   Ringcrg 15436   1rcur 15438  algSccascl 16151  var1cv1 16350  Poly1cpl1 16351
This theorem is referenced by:  coe1sclmul  16457  coe1sclmul2  16459  coe1scl  16461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875  df-seq 11139  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-mulg 14591  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441  df-ascl 16154  df-psr 16197  df-mvr 16198  df-mpl 16199  df-opsr 16205  df-psr1 16356  df-vr1 16357  df-ply1 16358
  Copyright terms: Public domain W3C validator