MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1scltm Unicode version

Theorem ply1scltm 16632
Description: A scalar is a term with zero exponent. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1scltm.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
ply1scltm.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1scltm.x  |-  X  =  (var1 `  R )
ply1scltm.m  |-  .x.  =  ( .s `  P )
ply1scltm.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
ply1scltm.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
ply1scltm.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
ply1scltm  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  ( A `  F )  =  ( F  .x.  ( 0  .^  X
) ) )

Proof of Theorem ply1scltm
StepHypRef Expression
1 ply1scltm.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
2 ply1scltm.p . . . . 5  |-  P  =  (Poly1 `  R )
32ply1sca2 16607 . . . 4  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  P )
4 df-base 13433 . . . . 5  |-  Base  = Slot  1
5 ply1scltm.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  R
)
64, 5strfvi 13466 . . . 4  |-  K  =  ( Base `  (  _I  `  R ) )
7 ply1scltm.m . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  P )
8 eqid 2408 . . . 4  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 1r `  P
)
91, 3, 6, 7, 8asclval 16353 . . 3  |-  ( F  e.  K  ->  ( A `  F )  =  ( F  .x.  ( 1r `  P ) ) )
109adantl 453 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  ( A `  F )  =  ( F  .x.  ( 1r `  P ) ) )
11 ply1scltm.x . . . . . 6  |-  X  =  (var1 `  R )
12 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1311, 2, 12vr1cl 16570 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
14 ply1scltm.n . . . . . . 7  |-  N  =  (mulGrp `  P )
1514, 12mgpbas 15613 . . . . . 6  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  N )
1614, 8rngidval 15625 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  P )  =  ( 0g `  N
)
17 ply1scltm.e . . . . . 6  |-  .^  =  (.g
`  N )
1815, 16, 17mulg0 14854 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( Base `  P
)  ->  ( 0 
.^  X )  =  ( 1r `  P
) )
1913, 18syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 0 
.^  X )  =  ( 1r `  P
) )
2019adantr 452 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  (
0  .^  X )  =  ( 1r `  P ) )
2120oveq2d 6060 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  ( F  .x.  ( 0  .^  X ) )  =  ( F  .x.  ( 1r `  P ) ) )
2210, 21eqtr4d 2443 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  K )  ->  ( A `  F )  =  ( F  .x.  ( 0  .^  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    _I cid 4457   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   0cc0 8950   1c1 8951   Basecbs 13428   .scvsca 13492  .gcmg 14648  mulGrpcmgp 15607   Ringcrg 15619   1rcur 15621  algSccascl 16330  var1cv1 16529  Poly1cpl1 16530
This theorem is referenced by:  coe1sclmul  16633  coe1sclmul2  16635  coe1scl  16637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-seq 11283  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-0g 13686  df-mnd 14649  df-grp 14771  df-mulg 14774  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-ascl 16333  df-psr 16376  df-mvr 16377  df-mpl 16378  df-opsr 16384  df-psr1 16535  df-vr1 16536  df-ply1 16537
  Copyright terms: Public domain W3C validator