MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1subrg Structured version   Unicode version

Theorem ply1subrg 16600
Description: Univariate polynomials form a subring of the set of univariate power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1  |-  P  =  (Poly1 `  R )
ply1val.2  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
ply1bas.u  |-  U  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
ply1subrg  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubRing `  S )
)

Proof of Theorem ply1subrg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
2 eqid 2438 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
3 ply1val.1 . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 ply1val.2 . . . 4  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
5 ply1bas.u . . . 4  |-  U  =  ( Base `  P
)
63, 4, 5ply1bas 16598 . . 3  |-  U  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
7 1on 6734 . . . 4  |-  1o  e.  On
87a1i 11 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  1o  e.  On )
9 id 21 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
101, 2, 6, 8, 9mplsubrg 16508 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubRing `  ( 1o mPwSer  R ) ) )
11 eqidd 2439 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
) )
124psr1val 16589 . . . 4  |-  S  =  ( ( 1o ordPwSer  R ) `
 (/) )
13 0ss 3658 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( 1o  X.  1o )
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  C_  ( 1o  X.  1o ) )
151, 12, 14opsrbas 16544 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( Base `  S ) )
161, 12, 14opsrplusg 16545 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( +g  `  S ) )
1716proplem3 13921 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  /\  y  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) ) )  ->  ( x ( +g  `  ( 1o mPwSer  R ) ) y )  =  ( x ( +g  `  S
) y ) )
181, 12, 14opsrmulr 16546 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( .r
`  ( 1o mPwSer  R ) )  =  ( .r
`  S ) )
1918proplem3 13921 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  /\  y  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R ) ) ) )  ->  ( x ( .r `  ( 1o mPwSer  R ) ) y )  =  ( x ( .r `  S
) y ) )
2011, 15, 17, 19subrgpropd 15907 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  (SubRing `  ( 1o mPwSer  R ) )  =  (SubRing `  S )
)
2110, 20eleqtrd 2514 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  U  e.  (SubRing `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   (/)c0 3630   Oncon0 4584    X. cxp 4879   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1oc1o 6720   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535   Ringcrg 15665  SubRingcsubrg 15869   mPwSer cmps 16411   mPoly cmpl 16413  PwSer1cps1 16574  Poly1cpl1 16576
This theorem is referenced by:  ply1crng  16601  ply1assa  16602  ply1rng  16647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-psr 16422  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-ply1 16583
  Copyright terms: Public domain W3C validator