MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1term Unicode version

Theorem ply1term 19586
Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1term.1  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
Assertion
Ref Expression
ply1term  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    z, A    z, N    z, S
Allowed substitution hint:    F( z)

Proof of Theorem ply1term
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3175 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S )  ->  A  e.  CC )
213adant3 975 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  A  e.  CC )
3 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
4 ply1term.1 . . . . 5  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
54ply1termlem 19585 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( if ( k  =  N ,  A ,  0 )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
62, 3, 5syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( if ( k  =  N ,  A ,  0 )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
7 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  S  C_  CC )
8 0cn 8831 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
98a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  0  e.  CC )
109snssd 3760 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  { 0 }  C_  CC )
117, 10unssd 3351 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )
12 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  S
)
13 elun1 3342 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
15 ssun2 3339 . . . . . 6  |-  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } )
16 c0ex 8832 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1716snss 3748 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } ) )
1815, 17mpbir 200 . . . . 5  |-  0  e.  ( S  u.  {
0 } )
19 ifcl 3601 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  0  e.  ( S  u.  {
0 } ) )  ->  if ( k  =  N ,  A ,  0 )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
2014, 18, 19sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  if ( k  =  N ,  A ,  0 )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
2111, 3, 20elplyd 19584 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( if ( k  =  N ,  A , 
0 )  x.  (
z ^ k ) ) )  e.  (Poly `  ( S  u.  {
0 } ) ) )
226, 21eqeltrd 2357 . 2  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  F  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
23 plyun0 19579 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
2422, 23syl6eleq 2373 1  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   ifcif 3565   {csn 3640    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   ^cexp 11104   sum_csu 12158  Polycply 19566
This theorem is referenced by:  plypow  19587  plyconst  19588  coe1termlem  19639  dgrcolem2  19655  plydivlem4  19676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-ply 19570
  Copyright terms: Public domain W3C validator