MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1term Unicode version

Theorem ply1term 19602
Description: A one-term polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1term.1  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
Assertion
Ref Expression
ply1term  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
Distinct variable groups:    z, A    z, N    z, S
Allowed substitution hint:    F( z)

Proof of Theorem ply1term
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel2 3188 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S )  ->  A  e.  CC )
213adant3 975 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  A  e.  CC )
3 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
4 ply1term.1 . . . . 5  |-  F  =  ( z  e.  CC  |->  ( A  x.  (
z ^ N ) ) )
54ply1termlem 19601 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( if ( k  =  N ,  A ,  0 )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
62, 3, 5syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( if ( k  =  N ,  A ,  0 )  x.  ( z ^ k
) ) ) )
7 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  S  C_  CC )
8 0cn 8847 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
98a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  0  e.  CC )
109snssd 3776 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  { 0 }  C_  CC )
117, 10unssd 3364 . . . 4  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( S  u.  { 0 } )  C_  CC )
12 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  S
)
13 elun1 3355 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
1412, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  ( S  u.  { 0 } ) )
15 ssun2 3352 . . . . . 6  |-  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } )
16 c0ex 8848 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1716snss 3761 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ( S  u.  { 0 } )  <->  { 0 }  C_  ( S  u.  { 0 } ) )
1815, 17mpbir 200 . . . . 5  |-  0  e.  ( S  u.  {
0 } )
19 ifcl 3614 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( S  u.  { 0 } )  /\  0  e.  ( S  u.  {
0 } ) )  ->  if ( k  =  N ,  A ,  0 )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
2014, 18, 19sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  if ( k  =  N ,  A ,  0 )  e.  ( S  u.  {
0 } ) )
2111, 3, 20elplyd 19600 . . 3  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( if ( k  =  N ,  A , 
0 )  x.  (
z ^ k ) ) )  e.  (Poly `  ( S  u.  {
0 } ) ) )
226, 21eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  F  e.  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) ) )
23 plyun0 19595 . 2  |-  (Poly `  ( S  u.  { 0 } ) )  =  (Poly `  S )
2422, 23syl6eleq 2386 1  |-  ( ( S  C_  CC  /\  A  e.  S  /\  N  e. 
NN0 )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758   NN0cn0 9981   ...cfz 10798   ^cexp 11120   sum_csu 12174  Polycply 19582
This theorem is referenced by:  plypow  19603  plyconst  19604  coe1termlem  19655  dgrcolem2  19671  plydivlem4  19692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-ply 19586
  Copyright terms: Public domain W3C validator