Theorem ply1tmcl 16627

Description: Closure of the expression for a univariate polynomial term. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1tmcl.k	|- K = ( Base ` R )
ply1tmcl.p	|- P = (Poly1 ` R )
ply1tmcl.x	|- X = (var1 ` R )
ply1tmcl.m	|- .x. = ( .s ` P )
ply1tmcl.n	|- N = (mulGrp ` P )
ply1tmcl.e	|- .^ = (.g ` N )
ply1tmcl.b	|- B = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
ply1tmcl	|- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B )

Proof of Theorem ply1tmcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1tmcl.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
2	1	ply1lmod 16609	. . 3 |- ( R e. Ring -> P e. LMod )
3	2	3ad2ant1 978	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> P e. LMod )
4		simp2 958	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> C e. K )
5	1	ply1rng 16605	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
6		ply1tmcl.n	. . . . . 6 |- N = (mulGrp ` P )
7	6	rngmgp 15633	. . . . 5 |- ( P e. Ring -> N e. Mnd )
8	5, 7	syl 16	. . . 4 |- ( R e. Ring -> N e. Mnd )
9	8	3ad2ant1 978	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> N e. Mnd )
10		simp3 959	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> D e. NN0 )
11		ply1tmcl.x	. . . . 5 |- X = (var1 ` R )
12		ply1tmcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` P )
13	11, 1, 12	vr1cl 16574	. . . 4 |- ( R e. Ring -> X e. B )
14	13	3ad2ant1 978	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> X e. B )
15	6, 12	mgpbas 15617	. . . 4 |- B = ( Base ` N )
16		ply1tmcl.e	. . . 4 |- .^ = (.g ` N )
17	15, 16	mulgnn0cl 14869	. . 3 |- ( ( N e. Mnd /\ D e. NN0 /\ X e. B ) -> ( D .^ X ) e. B )
18	9, 10, 14, 17	syl3anc 1184	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> ( D .^ X ) e. B )
19	1	ply1sca2 16611	. . 3 |- ( _I ` R ) = (Scalar ` P )
20		ply1tmcl.m	. . 3 |- .x. = ( .s ` P )
21		df-base 13437	. . . 4 |- Base = Slot 1
22		ply1tmcl.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
23	21, 22	strfvi 13470	. . 3 |- K = ( Base ` ( _I ` R ) )
24	12, 19, 20, 23	lmodvscl 15930	. 2 |- ( ( P e. LMod /\ C e. K /\ ( D .^ X ) e. B ) -> ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B )
25	3, 4, 18, 24	syl3anc 1184	1 |- ( ( R e. Ring /\ C e. K /\ D e. NN0 ) -> ( C .x. ( D .^ X ) ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   _I cid 4461   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1c1 8955   NN0cn0 10185   Basecbs 13432   .scvsca 13496   Mndcmnd 14647  ._gcmg 14652  mulGrpcmgp 15611   Ringcrg 15623   LModclmod 15913  var₁cv1 16533  Poly₁cpl1 16534

This theorem is referenced by:  coe1tm  16628  coe1tmmul2  16631  coe1tmmul  16632  deg1tmle  20001  deg1tm  20002  ply1divex  20020

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-psr 16380  df-mvr 16381  df-mpl 16382  df-opsr 16388  df-psr1 16539  df-vr1 16540  df-ply1 16541