Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1val Structured version   Unicode version

Theorem ply1val 16597
 Description: The value of the set of univariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1val.1 Poly1
ply1val.2 PwSer1
Assertion
Ref Expression
ply1val s mPoly

Proof of Theorem ply1val
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1val.1 . 2 Poly1
2 fveq2 5731 . . . . . 6 PwSer1 PwSer1
3 ply1val.2 . . . . . 6 PwSer1
42, 3syl6eqr 2488 . . . . 5 PwSer1
5 oveq2 6092 . . . . . 6 mPoly mPoly
65fveq2d 5735 . . . . 5 mPoly mPoly
74, 6oveq12d 6102 . . . 4 PwSer1s mPoly s mPoly
8 df-ply1 16583 . . . 4 Poly1 PwSer1s mPoly
9 ovex 6109 . . . 4 s mPoly
107, 8, 9fvmpt 5809 . . 3 Poly1 s mPoly
11 fvprc 5725 . . . . 5 Poly1
12 ress0 13528 . . . . 5 s mPoly
1311, 12syl6eqr 2488 . . . 4 Poly1 s mPoly
14 fvprc 5725 . . . . . 6 PwSer1
153, 14syl5eq 2482 . . . . 5
1615oveq1d 6099 . . . 4 s mPoly s mPoly
1713, 16eqtr4d 2473 . . 3 Poly1 s mPoly
1810, 17pm2.61i 159 . 2 Poly1 s mPoly
191, 18eqtri 2458 1 s mPoly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2958  c0 3630  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1o 6720  cbs 13474   ↾s cress 13475   mPoly cmpl 16413  PwSer1cps1 16574  Poly1cpl1 16576 This theorem is referenced by:  ply1bas  16598  ply1crng  16601  ply1assa  16602  ply1bascl  16606  ply1plusg  16624  ply1vsca  16625  ply1mulr  16626  ply1rng  16647  ply1lmod  16651  ply1sca  16652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-slot 13478  df-base 13479  df-ress 13481  df-ply1 16583
 Copyright terms: Public domain W3C validator